CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €20 000 的净租金。租金预计每年永久增长 1%。要求回报率为每年 5%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €20 000g = 1%r = 5%

PV = €

2.货币的时间价值困难

你以每年 2.4% 的利率借入 €25 000，按月复利，每月月末偿还 €725。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €25 000A = €7252.4% / 12

N = 次还款

3.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€12 000, €21 000, €14 000, €14 000。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

r = 6%CF₀ = −45 000CF₁ = 12 000CF₂ = 21 000CF₃ = 14 000CF₄ = 14 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一笔 €80 000 的投资在 3 年内每年年末回报 €30 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €80 000CF = €30 000n = 3

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 8% 的票息，7 年后到期。其到期收益率从 7% 变为 6.5%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 8%n = 7y₁ = 7%y₂ = 6.5%

ΔP = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 4 年后到期，售价为 €965。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 4P = €965

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €5 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 14%，税前债务成本为 4.5%，税率为 20%。求 WACC。

E = €5 000 000D = €6 000 000r_e = 14%r_d = 4.5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €17.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 28%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 9%。求 WACC。

β = 0.8r_f = 2.5%r_m = 9%r_d = 4.5%T = 28%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：16, 50, 59, 22, 50。

n = 5

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 50。求成绩 475 的 z 分数 z。

μ = 500σ = 50x = 475

z =

11.概率中等

袋中有 6 个红球和 6 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

6 / 6

P =

12.概率困难

一份测试有 10 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.3，相互独立。恰好答对 3 题的概率 P 是多少？

n = 10p = 0.3k = 3

P =

13.正态分布中等

X 服从均值 60 s、标准差 5 s 的正态分布；Y 独立，服从均值 45 s、标准差 4 s 的正态分布。求 X + Y 大于 98.6 s 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 98.6 s

P =

14.正态分布困难

运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

15.置信区间中等

一个包含 10 个个体的样本，均值为 63，标准差 s = 17.5。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的下限。

n = 10x̄ = 63s = 17.595%t(9) = 2.262

下限 =

16.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：6 块地，平均产量 49 kg，标准差 5 kg。地块组 2：8 块地，均值 43 kg，标准差 6 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的下限。

n₁ = 6x̄₁ = 49s₁ = 5n₂ = 8x̄₂ = 43s₂ = 699%t(12) = 3.055

下限 = kg

17.假设检验与置信区间中等

据称某总体的均值为 100；已知总体标准差为 16。一个含 64 个观测值的随机样本均值为 96.36。检验 H₀: μ = 100 对 H₁: μ < 100。求 p 值 p。

μ₀ = 100σ = 16n = 64x̄ = 96.36H₁: μ < μ₀

p =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.10 下，用容量为 64 的样本对 H₀: μ = 80 与 H₁: μ > 80 进行单侧 z 检验；已知标准差为 24。实际上均值为 88.1。求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。

μ₀ = 80μ = 88.1σ = 24n = 64α = 0.10

1 − β = %

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 95Σy = 275Σx² = 1845Σy² = 15779Σxy = 5371

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 21 时的 ŷ。

n = 6x = 21

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 500000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 20 000/(0.05 − 0.01) = 20 000/0.04 = €500 000.00

答案

PV = €500 000.00

2.货币的时间价值

答案: N = 36 次还款

将年金公式变形

i = 0.002

(1 + i)^−N = 1 − 25 000·0.002/725 = 0.931

用对数求解

N = −ln(0.931)/ln(1.002) = 35.77

向上取整到整次还款

35 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 36

答案

N = 36 次还款

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 7855 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.06)¹ = 12 000/1.06 = 11 320.75

CF₂/(1 + 0.06)² = 21 000/1.124 = 18 689.93

CF₃/(1 + 0.06)³ = 14 000/1.191 = 11 754.67

CF₄/(1 + 0.06)⁴ = 14 000/1.262 = 11 089.31

相加

NPV = €7 854.66

答案

NPV = €7 854.66

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 6.129 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻³)/i = 80 000/30 000 = 2.667

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 6%: 2.673

i = 7%: 2.624

IRR = 6.129%

答案

IRR = 6.129%

5.债券定价与收益率

答案: ΔP = 28.37 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €80.00, i = 0.07, N = 7

€80.00·(1 − 0.6227)/0.07 + €1 000·0.6227 = €431.14 + €622.75 = €1 053.89

按新收益率计算的价格

C = €80.00, i = 0.065, N = 7

€80.00·(1 − 0.6435)/0.065 + €1 000·0.6435 = €438.76 + €643.51 = €1 082.27

变化

ΔP = 1 082.27 − 1 053.89 = €28.37

答案

ΔP = €28.37

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.01 %

收益率方程

€965 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

数值求解

P(6%) = €965.35, P(7%) = €932.26

YTM = 6.01%

答案

YTM = 6.01%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.327 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €11 000 000, E/V = 0.4545, D/V = 0.5455

WACC

WACC = 0.4545·14% + 0.5455·4.5%·(1 − 0.2) = 8.327%

答案

WACC = 8.327%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.247 %

市场价值

E = 5 000 000·€17.00 = €85 000 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 0.8·6.5% = 7.7%

权重

V = €94 600 000, E/V = 0.8985, D/V = 0.1015

WACC

WACC = 0.8985·7.7% + 0.1015·4.5%·(1 − 0.28) = 7.247%

答案

WACC = 7.247%

9.描述统计

答案: s = 19.1

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 197/5 = 39.4

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−23.4)² + 10.6² + 19.6² + (−17.4)² + 10.6² = 1459

标准差

s = √(1459/4) = 19.1

答案

s = 19.1

10.描述统计

答案: z = −0.5

标准化

z = (475 − 500)/50 = −0.5

答案

z = −0.5

11.概率

答案: P = 0.2273

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 6/12 · 5/11 = 30/132 = 0.2273

答案

P = 0.2273

12.概率

答案: P = 0.2668

二项分布公式

P(X = 3) = 120·0.3³·0.7⁷ = 120·0.027·0.08235 = 0.2668

答案

P = 0.2668

13.正态分布

答案: P = 0.8413

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

标准化

z = (98.6 − 105)/6.403 = −1

上尾

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0.1587 = 0.8413

答案

P = 0.8413

14.正态分布

答案: P = 0.7881

差的分布

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

标准化

z = (0 − 4)/5 = −0.8

概率

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

答案

P = 0.7881

15.置信区间

答案: 下限 = 50.48

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 9, t = 2.262

误差范围

E = 2.262·17.5/√10 = 12.52

区间

63 ± 12.52 → [50.48, 75.52]

答案

下限 = 50.48

16.置信区间

答案: 下限 = −3.248 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

合并标准差

s_p² = (5·5² + 7·6²)/12 = 31.42

s_p = 5.605

误差范围

E = 3.055·5.605·√(1/6 + 1/8) = 9.248

区间

6 ± 9.248 → [−3.248, 15.25]

答案

下限 = −3.248 kg

17.假设检验与置信区间

答案: p = 0.03438

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

检验统计量

SE = σ/√n = 16/√64 = 2

z = (96.36 − 100)/2 = −1.82

尾部面积

Φ(1.82) = 0.9656

1 − Φ(1.82) = 0.0344

p 值

p = 0.03438

答案

p = 0.03438

p ≤ 0.05，所以在 5% 水平下拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: 1 − β = 92.19 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 24/√64 = 3

x̄_c = 80 + 1.282·3 = 83.85

真实均值下的 z

z = (83.85 − 88.1)/3 = −1.418

功率

功效 = P(Z > −1.418) = 92.19%

1 − β = 92.19%

答案

1 − β = 92.19%

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9027

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 5371 − 95·275/5 = 146

S_xx = 1845 − 95²/5 = 40

S_yy = 15779 − 275²/5 = 654

答案

r = 0.9027

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 54.67

均值

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 328/6 = 54.67

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 216

回归直线

b = 216/70 = 3.086

a = 54.67 − 3.086·21 = −10.13

ŷ = −10.13 + 3.086·x

预测

ŷ = −10.13 + 3.086·21 = 54.67

答案

ŷ = 54.67

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