CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €6 000 的净租金。租金预计每年永久增长 4%。要求回报率为每年 9%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €6 000g = 4%r = 9%

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €3 000，共 25 年，第一笔今天存入。账户年利率为 3%。第 25 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €3 000i = 3%n = 25

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €20 000，使用 8 年，每年运行费用为 €2 000（每年年末支付）。资本成本为 5%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €20 000M = €2 000n = 8r = 5%

EAC = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €10 500, €15 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 10 500CF₂ = 15 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，11 年后到期。到期收益率为每年 6%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 6%n = 11

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €980，到期收益率为 4%（按年复利），麦考利久期为 9.8 年。如果收益率上升 25 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €980y = 4%D = 9.8Δy = +25 bp

P = €

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €5 000 000 的普通股、价值 €1 000 000 的优先股和价值 €2 000 000 的债务构成。股权资本成本为 12%，优先股成本为 6%，税前债务成本为 4.5%。税率为 30%。求 WACC。

E = €5 000 000P_s = €1 000 000D = €2 000 000r_e = 12%r_p = 6%r_d = 4.5%T = 30%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.25 下的贝塔为 1。公司计划把负债权益比提高到 1.5。税率为 30%，无风险利率为 4%，市场风险溢价为 6%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1D/E₁ = 0.25D/E₂ = 1.5T = 30%r_f = 4%r_m − r_f = 6%

r_e = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：50, 50, 20, 50, 20。

n = 5

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 8。数值高于 163.6 的比例 P 是多少？

μ = 170σ = 8x = 163.6

P =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.2, 0.15, 0.35

Var(X) =

12.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 0.5X + 4。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.15, 0.2, 0.2, 0.1Y = 0.5X + 4

σ_Y =

13.正态分布中等

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 250.25 和 251 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 250σ = 5x₁ = 250.25x₂ = 251

P =

14.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 5% 的数据低于它（第 5 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 5%

x = 分

15.置信区间中等

一个包含 8 个个体的样本，均值为 80，标准差 s = 12。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的误差范围 E。

n = 8x̄ = 80s = 1290%t(7) = 1.895

E =

16.置信区间困难

总体标准差为 26。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.5？

σ = 26E = 0.595%

n =

17.假设检验与置信区间中等

13 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 2.7，差值的标准差为 8.1。求 H₀: μ_d = 0 的配对检验统计量 t。

n = 13d̄ = 2.7s_d = 8.1

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 1 个单位的偏移。标准差为 6。求最小样本量 n。

α = 0.01功效 = 80%δ = 1σ = 6z_α = 2.326z_β = 0.842

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (9, 32)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(9, 32)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 120000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 6 000/(0.09 − 0.04) = 6 000/0.05 = €120 000.00

答案

PV = €120 000.00

2.货币的时间价值

答案: FV = 112659 €

普通年金系数

((1 + 0.03)²⁵ − 1)/0.03 = 36.46

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 3 000·36.46·1.03 = €112 659.13

答案

FV = €112 659.13

3.NPV 与 IRR

答案: EAC = 5094 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.05⁻⁸)/0.05 = 6.463

年化购置价格

20 000/6.463 = 3 094.44

EAC

EAC = 3 094.44 + 2 000 = €5 094.44

答案

EAC = €5 094.44

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 16.74 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(15%) = 472.59

NPV(20%) = −833.33

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 15 + 5·472.59/(472.59 − (−833.33)) = 16.81%

精确: NPV(16.74%) = 0 → IRR = 16.74%

答案

IRR = 16.74%

5.债券定价与收益率

答案: P = 760.9 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €15.00, i = 0.03, N = 22

票息的现值

€15.00·(1 − 0.5219)/0.03 = €239.05

面值的现值

€1 000·0.5219 = €521.89

价格

P = €760.95

答案

P = €760.95

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: P = 956.9 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 9.8/1.04 = 9.423

估计的价格变化

%ΔP ≈ −9.423·(0.0025) = −2.356%

P ≈ 980·(1 − 0.02356) = €956.91

答案

P = €956.91

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.037 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 5 000 000 + 1 000 000 + 2 000 000 = €8 000 000

E/V = 0.625, P_s/V = 0.125, D/V = 0.25

WACC

WACC = 0.625·12% + 0.125·6% + 0.25·4.5%·(1 − 0.3) = 9.037%

答案

WACC = 9.037%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 14.47 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1/(1 + 0.7·0.25) = 0.8511

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 0.8511·(1 + 0.7·1.5) = 1.745

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 1.745·6% = 14.47%

答案

r_e = 14.47%

9.描述统计

答案: s = 16.43

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 190/5 = 38

离差平方

Σ(x − x̄)² = 12² + 12² + (−18)² + 12² + (−18)² = 1080

标准差

s = √(1080/4) = 16.43

答案

s = 16.43

10.描述统计

答案: P = 0.7881

标准化

z = −0.8

标准正态分布表

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 1 − 0.2119 = 0.7881

答案

P = 0.7881

11.概率

答案: Var(X) = 1.548

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.3 + 1·0.2 + 2·0.15 + 3·0.35 = 1.55

平方的均值

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.2 + 4·0.15 + 9·0.35 = 3.95

方差

Var(X) = 3.95 − 1.55² = 1.548

答案

Var(X) = 1.548

12.概率

答案: σ_Y = 0.6978

X 的离散程度

μ = 1.55, Var(X) = 1.947, σ_X = 1.396

线性变换

σ_Y = |0.5|·1.396 = 0.6978

答案

σ_Y = 0.6978

均值确实会改变：E(Y) = 0.5·1.55 + 4 = 4.775。

13.正态分布

答案: P = 0.05932

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (250.25 − 250)/5 = 0.05

z₂ = (251 − 250)/5 = 0.2

中间面积

P = Φ(0.2) − Φ(0.05) = 0.5793 − 0.5199 = 0.05932

答案

P = 0.05932

14.正态分布

答案: x = 75.33 分

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

换算回 x

x = 100 + −1.645·15 = 75.33 分

答案

x = 75.33 分

15.置信区间

答案: E = 8.04

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 7, t = 1.895

误差范围

E = 1.895·12/√8 = 8.04

答案

E = 8.04

16.置信区间

答案: n = 10388

解出 n

n = (1.96·26/0.5)² = 10388

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 10388

答案

n = 10388

17.假设检验与置信区间

答案: t = 1.202

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

平均差值的标准误

SE = 8.1/√13 = 2.247

检验统计量

t = 2.7/2.247 = 1.202

答案

t = 1.202

df = 12 时，双侧 5% 的临界值为 2.179；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 362

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((2.326 + 0.842)·6/1)² = 361.3

向上取整

n = 362

答案

n = 362

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9939

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 181/6 = 30.17

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 295

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1251

决定系数

r² = 295²/(70·1251) = 0.9939

答案

r² = 0.9939

y 的变异中约有 99.39% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: e = −1.65

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 115/5 = 23

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 142

回归直线

b = 142/40 = 3.55

a = 23 − 3.55·6 = 1.7

ŷ = 1.7 + 3.55·x

预测值

ŷ = 1.7 + 3.55·9 = 33.65

残差

e = 32 − 33.65 = −1.65

答案

e = −1.65

该点位于直线下方。

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