货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以每年 5% 的利率连续复利投资 €5 000。求 18 年后的价值 FV。
PV = €5 000r = 5%t = 18
FV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €200 000 的贷款在 20 年内按月等额偿还，年利率 7.2%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？
P = €200 0007.2% / 12N = 240
I = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€32 000, €18 000, €23 000, €25 000。资本成本为 8%。求净现值 NPV。
r = 8%CF0 = −75 000CF1 = 32 000CF2 = 18 000CF3 = 23 000CF4 = 25 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
项目 A 需投入 €10 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €5 500, €4 000, €2 000。项目 B 需投入 €12 000，回报为 €3 000, €4 500, €6 500。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。
A: −10 000, 5 500, 4 000, 2 000B: −12 000, 3 000, 4 500, 6 500
r* = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券在 8 年后到期，每年付息。到期收益率为 8% 时其售价为 €799。求票面利率 c，以百分比表示。
F = €1 000n = 8P = €799YTM = 8%
c = %
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 6 年后到期，售价为 €895。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 8%n = 6P = €895
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的股权价值为 €8 000 000，债务价值为 €2 000 000。其 WACC 为 8.16%，税前债务成本为 6%，税率为 20%。求股权资本成本 re。
E = €8 000 000D = €2 000 000WACC = 8.16%rd = 6%T = 20%
re = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 1。它计划采用 1 的负债权益比。税率为 25%，无风险利率为 4%，市场风险溢价为 5.5%。求新资本结构下的股权资本成本 re。
βU = 1D/E = 1T = 25%rf = 4%rm − rf = 5.5%
re = %
9.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：10, 32, 21, 35, 37。
n = 5
s =
10.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 12。数值低于 152 的比例 P 是多少？
μ = 170σ = 12x = 152
P =
11.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.2, 0.15, 0.3, 0.35
Var(X) =
12.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 2X + 1。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3Y = 2X + 1
σY =
13.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9634。求 z，保留两位小数。
A = 0.9634
z =
14.正态分布困难
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 95% 的数据低于它（第 95 百分位数）。
μ = 500σ = 40P = 95%
x = h
15.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：60 部手机，均值 98 h，已知标准差 8 h。型号 2：40 部手机，均值 90 h，已知标准差 4 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的上限。
n₁ = 60x̄₁ = 98 hσ₁ = 8 hn₂ = 40x̄₂ = 90 hσ₂ = 4 h95%
上限 = h
16.置信区间困难
事先对缺陷产品的比例一无所知。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.025？
p = 0.5E = 0.02590%
n =
17.假设检验与置信区间中等
64 名学生的样本平均分为 498.2，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。
μ₀ = 500x̄ = 498.2s = 8n = 64
t =
18.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 95% 的功效检测出均值 5 个单位的偏移。标准差为 20。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 95%δ = 5σ = 20zα = 1.645zβ = 1.645
n =
19.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 138Σy = 435Σx² = 3244Σy² = 32291Σxy = 10226
r =
20.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (6.5, 40)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(6.5, 40)
e =
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 12298 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
指数
r·t = 0.05·18 = 0.9
e0.9 = 2.46
终值
FV = 5 000·2.46 = €12 298.02
答案
FV = €12 298.02
2.货币的时间价值
答案: I = 177928 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月供
i = 0.006, N = 240
A = 200 000·0.006/(1 − (1 + 0.006)−240) = €1 574.70
利息总额
I = N·A − P = 240·1575 − 200 000 = €177 927.66
答案
I = €177 927.66
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 6696 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.08)1 = 32 000/1.08 = 29 629.63
CF2/(1 + 0.08)2 = 18 000/1.166 = 15 432.10
CF3/(1 + 0.08)3 = 23 000/1.26 = 18 258.14
CF4/(1 + 0.08)4 = 25 000/1.36 = 18 375.75
相加
NPV = €6 695.62
答案
NPV = €6 695.62
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: r* = 4.59 %
交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。
现金流之差
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 000 − 5 500 = −2 500
ΔCF2 = 4 500 − 4 000 = 500
ΔCF3 = 6 500 − 2 000 = 4 500
差额的 IRR
NPVΔ(4%) = 58.92
NPVΔ(5%) = −40.17
r* = 4.59%
答案
r* = 4.59%
校核：在 4.59% 时两个 NPV 都是 €663.40。
5.债券定价与收益率
答案: c = 4.502 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
面值的现值
1000·(1 + 0.08)−8 = €540.27
票息
C = (799 − 540.27)/5.747 = €45.02
票面利率
c = 45.02/1000 = 4.502%
答案
c = 4.502%
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 10.44 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€895 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
数值求解
P(10%) = €912.89, P(11%) = €873.08
YTM = 10.44%
答案
YTM = 10.44%
7.CAPM 与 WACC
答案: re = 9 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €10 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2
WACC 中的债务部分
0.2·6%·(1 − 0.2) = 0.96%
股权成本
re = (8.16% − 0.96%)/0.8 = 9%
答案
re = 9%
8.CAPM 与 WACC
答案: re = 13.63 %
有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 βU 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。
有杠杆贝塔
βL = 1·(1 + 0.75·1) = 1.75
股权成本（CAPM）
re = 4% + 1.75·5.5% = 13.63%
答案
re = 13.63%
9.描述统计
答案: s = 11.34
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 135/5 = 27
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−17)² + 5² + (−6)² + 8² + 10² = 514
标准差
s = √(514/4) = 11.34
答案
s = 11.34
10.描述统计
答案: P = 0.06681
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1.5
标准正态分布表
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 0.06681
答案
P = 0.06681
11.概率
答案: Var(X) = 5.04
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.2 + 2·0.15 + 4·0.3 + 6·0.35 = 3.6
平方的均值
E(X²) = 0·0.2 + 4·0.15 + 16·0.3 + 36·0.35 = 18
方差
Var(X) = 18 − 3.6² = 5.04
答案
Var(X) = 5.04
12.概率
答案: σY = 1.609
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 0.95, Var(X) = 0.6475, σX = 0.8047
线性变换
σY = |2|·0.8047 = 1.609
答案
σY = 1.609
均值确实会改变：E(Y) = 2·0.95 + 1 = 2.9。
13.正态分布
答案: z = 2.09
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.9634)/2 = 0.9817
反向查 z 表
在表中找到 0.9817，读出 z。
z = 2.09
答案
z = 2.09
14.正态分布
答案: x = 565.8 h
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.95 → z = 1.645
换算回 x
x = 500 + 1.645·40 = 565.8 h
答案
x = 565.8 h
15.置信区间
答案: 上限 = 10.37 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 98 − 90 = 8
标准误
SE = √(8²/60 + 4²/40) = 1.211
误差范围
E = 1.96·1.211 = 2.374
区间
8 ± 2.374 → [5.626, 10.37]
答案
上限 = 10.37 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
16.置信区间
答案: n = 1083
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.645²·0.5·0.5/0.025² = 1082
向上取整
n = 1083
答案
n = 1083
17.假设检验与置信区间
答案: t = −1.8
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 8/√64 = 8/8 = 1
检验统计量
t = (498.2 − 500)/1 = −1.8
答案
t = −1.8
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| < 1.998，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
18.假设检验与置信区间
答案: n = 174
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 1.645)·20/5)² = 173.2
向上取整
n = 174
答案
n = 174
19.线性回归与相关
答案: r = 0.9623
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 10226 − 138·435/6 = 221
Sxx = 3244 − 138²/6 = 70
Syy = 32291 − 435²/6 = 753.5
相关系数
r = 221/√(70·753.5) = 0.9623
答案
r = 0.9623
20.线性回归与相关
答案: e = −2.738
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 217/6 = 36.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 57.5
回归直线
b = 57.5/17.5 = 3.286
a = 36.17 − 3.286·4.5 = 21.38
ŷ = 21.38 + 3.286·x
预测值
ŷ = 21.38 + 3.286·6.5 = 42.74
残差
e = 40 − 42.74 = −2.738
答案
e = −2.738
该点位于直线下方。
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