CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 5% 投资 €1 000，按季度复利。求 4 年后的投资价值 FV。

PV = €1 0005% / 4n = 4

FV = €

2.货币的时间价值困难

你希望在 7 年后得到 €100 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 2.4%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €100 0002.4% / 12N = 84

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€11 000, €15 000, €10 000, €10 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF₀ = −30 000CF₁ = 11 000CF₂ = 15 000CF₃ = 10 000CF₄ = 10 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €5 000, €7 000, €4 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 7 000CF₃ = 4 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 2%，每半年付息一次，5 年后到期。到期收益率为每年 5.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 2%YTM = 5.5%n = 5

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 4 年后到期，售价为 €920。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 4P = €920

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €10 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 10%，税前债务成本为 5%，税率为 30%。求 WACC。

E = €10 000 000D = €4 000 000r_e = 10%r_d = 5%T = 30%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 2 000 000 股股票，股价为 €31.50；其股权账面价值为 €18 900 000。公司刚支付了每股 €1.90 的股利，股利每年增长 4%。其债务市场价值为 €18 900 000，税前成本为 3%。税率为 25%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 2 000 000P₀ = €31.50股权账面价值 = €18 900 000D₀ = €1.90g = 4%D = €18 900 000r_d = 3%T = 25%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：41, 54, 20, 22, 21, 38。

n = 6

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 10。数值低于 70 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 10x = 70

P =

11.概率中等

一颗均匀骰子掷 2 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 2

P =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €10。你以概率 0.15 赢得 €50，以概率 0.01 赢得 €100；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €10€50: p = 0.15€100: p = 0.01

E(G) = €

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.5467。求 z，保留两位小数。

A = 0.5467

z =

14.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

15.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：100 部手机，均值 120 h，已知标准差 8 h。型号 2：60 部手机，均值 122.5 h，已知标准差 11 h。求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的下限。

n₁ = 100x̄₁ = 120 hσ₁ = 8 hn₂ = 60x̄₂ = 122.5 hσ₂ = 11 h95%

下限 = h

16.置信区间困难

总体标准差为 29。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 5？

σ = 29E = 590%

n =

17.假设检验与置信区间中等

36 名学生的样本平均分为 503.9，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。

μ₀ = 500x̄ = 503.9s = 8n = 36

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.01 下，用容量为 36 的样本对 H₀: μ = 100 与 H₁: μ < 100 进行单侧 z 检验；已知标准差为 15。实际上均值为 94.25。求第二类错误的概率 β，以百分比表示。

μ₀ = 100μ = 94.25σ = 15n = 36α = 0.01

β = %

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 30Σy = 110Σx² = 220Σy² = 2972Σxy = 808

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 22.5 时的 ŷ。

n = 5x = 22.5

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 1220 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.05/4 = 0.0125

N = m·n = 4·4 = 16

终值

FV = 1 000·(1 + 0.0125)¹⁶ = 1 000·1.22 = €1 219.89

答案

FV = €1 219.89

2.货币的时间价值

答案: A = 1094 €

月利率和存款次数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·7 = 84

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 100 000·0.002/(1.183 − 1) = €1 094.46

答案

A = €1 094.46

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 5252 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 11 000/1.12 = 9 821.43

CF₂/(1 + 0.12)² = 15 000/1.254 = 11 957.91

CF₃/(1 + 0.12)³ = 10 000/1.405 = 7 117.80

CF₄/(1 + 0.12)⁴ = 10 000/1.574 = 6 355.18

相加

NPV = €5 252.32

答案

NPV = €5 252.32

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 28.61 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(25%) = 528.00

NPV(30%) = −191.17

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 25 + 5·528.00/(528.00 − (−191.17)) = 28.67%

精确: NPV(28.61%) = 0 → IRR = 28.61%

答案

IRR = 28.61%

5.债券定价与收益率

答案: P = 848.8 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €10.00, i = 0.0275, N = 10

票息的现值

€10.00·(1 − 0.7624)/0.0275 = €86.40

面值的现值

€1 000·0.7624 = €762.40

价格

P = €848.80

答案

P = €848.80

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 9.496 %

收益率方程

€920 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

数值求解

P(9%) = €935.21, P(10%) = €904.90

YTM = 9.496%

答案

YTM = 9.496%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.143 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €14 000 000, E/V = 0.7143, D/V = 0.2857

WACC

WACC = 0.7143·10% + 0.2857·5%·(1 − 0.3) = 8.143%

答案

WACC = 8.143%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.422 %

股权成本

D₁ = 1.9·1.04 = €1.98

r_e = 1.976/31.5 + 0.04 = 10.27%

市场价值

E = 2 000 000·€31.50 = €63 000 000

V = €81 900 000, E/V = 0.7692, D/V = 0.2308

WACC

WACC = 0.7692·10.27% + 0.2308·3%·(1 − 0.25) = 8.422%

答案

WACC = 8.422%

9.描述统计

答案: s = 13.88

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 196/6 = 32.67

离差平方

Σ(x − x̄)² = 8.333² + 21.33² + (−12.67)² + (−10.67)² + (−11.67)² + 5.333² = 963.3

标准差

s = √(963.3/5) = 13.88

答案

s = 13.88

10.描述统计

答案: P = 0.9772

标准化

z = 2

标准正态分布表

Φ(2) = 0.9772

P = 0.9772

答案

P = 0.9772

11.概率

答案: P = 0.3056

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)² = 0.6944

P = 1 − 0.6944 = 0.3056

答案

P = 0.3056

12.概率

答案: E(G) = −1.5 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 40 (p = 0.15), 90 (p = 0.01), −10 (p = 0.84)

期望值

E(G) = 40·0.15 + 90·0.01 − 10·0.84 = −1.5 €

答案

E(G) = −1.5 €

负值表示平均而言你会亏钱。

13.正态分布

答案: z = 0.75

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.5467)/2 = 0.7734

反向查 z 表

在表中找到 0.7734，读出 z。

z = 0.75

答案

z = 0.75

14.正态分布

答案: P = 0.9099

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02236 mm

标准化

z = (0 − 0.03)/0.02236 = −1.34

概率

P = 1 − Φ(−1.34) = 0.9099

答案

P = 0.9099

15.置信区间

答案: 下限 = −5.695 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 120 − 122.5 = −2.5

标准误

SE = √(8²/100 + 11²/60) = 1.63

误差范围

E = 1.96·1.63 = 3.195

区间

−2.5 ± 3.195 → [−5.695, 0.6947]

答案

下限 = −5.695 h

区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。

16.置信区间

答案: n = 92

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.645·29/5)² = 91.03

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 92

答案

n = 92

17.假设检验与置信区间

答案: t = 2.925

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 8/√36 = 8/6 = 1.333

检验统计量

t = (503.9 − 500)/1.333 = 2.925

答案

t = 2.925

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| > 2.03，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: β = 51.04 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 15/√36 = 2.5

x̄_c = 100 − 2.326·2.5 = 94.19

真实均值下的 z

z = (94.19 − 94.25)/2.5 = −0.026

第二类错误

功效 = P(Z < −0.026) = 48.96%

β = 100% − 48.96% = 51.04%

答案

β = 51.04%

19.线性回归与相关

答案: r = 0.996

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 808 − 30·110/5 = 148

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 2972 − 110²/5 = 552

答案

r = 0.996

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 67.1

均值

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 314/5 = 62.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 258

回归直线

b = 258/90 = 2.867

a = 62.8 − 2.867·21 = 2.6

ŷ = 2.6 + 2.867·x

预测

ŷ = 2.6 + 2.867·22.5 = 67.1

答案

ŷ = 67.1

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