CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 5 年后需要 €5 000。某账户年利率 4.8%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €5 0004.8% / 12n = 5

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €12 000 的贷款在 4 年内以等额月供偿还。年利率 7.2%，按月复利。求月供 A。

P = €12 0007.2% / 12N = 48

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €80 000。它在 8 年内每年年末产生 €15 000，之后可以以 €8 000 出售。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €80 000CF = €15 000S = €8 000n = 8r = 8%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €5 000, €6 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 6 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 13 年后到期，每年付息。到期收益率为 4% 时其售价为 €1 200。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 13P = €1 200YTM = 4%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 7 年后到期，售价为 €875。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 7P = €875

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €5 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 5%，税率为 25.8%。求 WACC。

E = €5 000 000D = €4 000 000r_e = 11%r_d = 5%T = 25.8%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €11.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 28%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 1.5%，市场回报率为 7%。求 WACC。

β = 1.8r_f = 1.5%r_m = 7%r_d = 3.5%T = 28%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：38, 23, 48, 43, 55, 36, 44。

n = 7

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 12。数值高于 67.2 的比例 P 是多少？

μ = 60σ = 12x = 67.2

P =

11.概率中等

袋中有 8 个红球和 4 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

8 / 4

P =

12.概率困难

测试 12 个元件，每个独立地以概率 0.2 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 12p = 0.2

P =

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9090。求 z，保留两位小数。

A = 0.9090

z =

14.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的后 30% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 500 hσ = 40 h30%

x = h

15.置信区间中等

测量 8 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −4，标准差为 3.4。求平均差值的 99% 置信区间的误差范围 E。

n = 8d̄ = −4s_d = 3.499%t(7) = 3.499

E = mmHg

16.置信区间困难

总体标准差为 34。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 5？

σ = 34E = 595%

n =

17.假设检验与置信区间中等

比较两种教学方法。第 1 组：5 名学生，平均分 26，标准差 5.5。第 2 组：11 名学生，平均分 36.1，标准差 6。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。

n₁ = 5x̄₁ = 26s₁ = 5.5n₂ = 11x̄₂ = 36.1s₂ = 6

t =

18.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 1.5？标准差为 12。求最小样本量 n。

σ = 12E = 1.599%

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (9, 23)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(9, 23)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 3935 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·5 = 60

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1.271 = €3 935.02

答案

PV = €3 935.02

2.货币的时间价值

答案: A = 288.5 €

月利率和还款期数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·4 = 48

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.7504

A = 12 000·0.006/(1 − 0.7504) = €288.47

答案

A = €288.47

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 10522 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

15 000·5.747 = 86 199.58

残值的现值

8 000/1.851 = 4 322.15

NPV

NPV = −80 000 + 86 199.58 + 4 322.15 = €10 521.74

答案

NPV = €10 521.74

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 9.41 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(5%) = 657.60

NPV(10%) = −82.64

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 5 + 5·657.60/(657.60 − (−82.64)) = 9.442%

精确: NPV(9.41%) = 0 → IRR = 9.41%

答案

IRR = 9.41%

5.债券定价与收益率

答案: c = 6.003 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.04)⁻¹³ = €600.57

票息

C = (1200 − 600.57)/9.986 = €60.03

票面利率

c = 60.03/1000 = 6.003%

答案

c = 6.003%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 9.528 %

收益率方程

€875 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数值求解

P(9%) = €899.34, P(10%) = €853.95

YTM = 9.528%

答案

YTM = 9.528%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.76 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €9 000 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444

WACC

WACC = 0.5556·11% + 0.4444·5%·(1 − 0.258) = 7.76%

答案

WACC = 7.76%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.844 %

市场价值

E = 2 500 000·€11.50 = €28 750 000

D = 20 000·€960 = €19 200 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.8·5.5% = 11.4%

权重

V = €47 950 000, E/V = 0.5996, D/V = 0.4004

WACC

WACC = 0.5996·11.4% + 0.4004·3.5%·(1 − 0.28) = 7.844%

答案

WACC = 7.844%

9.描述统计

答案: s = 10.13

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 287/7 = 41

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−3)² + (−18)² + 7² + 2² + 14² + (−5)² + 3² = 616

标准差

s = √(616/6) = 10.13

答案

s = 10.13

10.描述统计

答案: P = 0.2743

标准化

z = 0.6

标准正态分布表

Φ(0.6) = 0.7257

P = 1 − 0.7257 = 0.2743

答案

P = 0.2743

11.概率

答案: P = 0.4242

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 8/12 · 7/11 = 56/132 = 0.4242

答案

P = 0.4242

12.概率

答案: P = 0.2749

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.8¹² = 0.06872

P(X = 1) = 12·0.2·0.8¹¹ = 0.2062

相加

P = 0.06872 + 0.2062 = 0.2749

答案

P = 0.2749

13.正态分布

答案: z = 1.69

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.9090)/2 = 0.9545

反向查 z 表

在表中找到 0.9545，读出 z。

z = 1.69

答案

z = 1.69

14.正态分布

答案: x = 479 h

左侧的面积

Φ(z) = 0.3

由表得到的 z

z ≈ −0.52

回到原来的单位

x = 500 − 0.52·40 = 479 h

答案

x = 479 h

15.置信区间

答案: E = 4.206 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

临界值

df = 7, t = 3.499

误差范围

E = 3.499·3.4/√8 = 4.206

答案

E = 4.206 mmHg

16.置信区间

答案: n = 178

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.96·34/5)² = 177.6

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 178

答案

n = 178

17.假设检验与置信区间

答案: t = −3.195

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

合并方差

s_p² = (4·5.5² + 10·6²)/14 = 34.36

s_p = 5.861

标准误

SE = 5.861·√(1/5 + 1/11) = 3.161

检验统计量

t = (26 − 36.1)/3.161 = −3.195

答案

t = −3.195

df = 14 时，双侧 5% 的临界值为 2.145；|t| 更大，所以拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 425

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

解出 n

n = (2.576·12/1.5)² = 424.7

向上取整

n = 425

答案

n = 425

19.线性回归与相关

答案: r = 0.999

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 106/5 = 21.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 348.8

答案

r = 0.999

20.线性回归与相关

答案: e = 4.95

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 58/5 = 11.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 86

回归直线

b = 86/40 = 2.15

a = 11.6 − 2.15·6 = −1.3

ŷ = −1.3 + 2.15·x

预测值

ŷ = −1.3 + 2.15·9 = 18.05

残差

e = 23 − 18.05 = 4.95

答案

e = 4.95

该点位于直线上方。

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