CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3.6% 投资 €12 000，按季度复利。求 3 年后的投资价值 FV。

PV = €12 0003.6% / 4n = 3

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €250 000 的贷款在 25 年内以等额月供偿还。年利率 6%，按月复利。求月供 A。

P = €250 0006% / 12N = 300

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€21 000, €23 000, €29 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF₀ = −75 000CF₁ = 21 000CF₂ = 23 000CF₃ = 29 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €34 500, €35 000, €29 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 34 500CF₂ = 35 000CF₃ = 29 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 15 年后到期，每年付息。到期收益率为 7% 时其售价为 €636。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 15P = €636YTM = 7%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 2% 的票息，分两次半年支付，7 年后到期。其售价为 €799。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 2% (2×)n = 7P = €799

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.75。其股权资本成本为 13%，税前债务成本为 7%，税率为 20%。求 WACC。

D/E = 0.75r_e = 13%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €50.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 1.2，无风险利率为 1%，市场回报率为 7%。求 WACC。

β = 1.2r_f = 1%r_m = 7%r_d = 3%T = 25.8%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：23, 17, 10, 17, 31。

n = 5

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 12。求成绩 74.8 的 z 分数 z。

μ = 70σ = 12x = 74.8

z =

11.概率中等

从 8 人中选出 3 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 8k = 3

N =

12.概率困难

X 的分布如图所示，Y = −2X + 20。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.15, 0.35, 0.35Y = −2X + 20

σ_Y =

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.8485。求 z，保留两位小数。

A = 0.8485

z =

14.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 10% 的数据低于它（第 10 百分位数）。

μ = 500σ = 40P = 10%

x = h

15.置信区间中等

一个包含 30 个个体的样本，均值为 73.5，标准差 s = 18。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的下限。

n = 30x̄ = 73.5s = 1890%t(29) = 1.699

下限 =

16.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：5 块地，平均产量 73.5 kg，标准差 2.5 kg。地块组 2：7 块地，均值 78 kg，标准差 1.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的下限。

n₁ = 5x̄₁ = 73.5s₁ = 2.5n₂ = 7x̄₂ = 78s₂ = 1.590%t(10) = 1.812

下限 = kg

17.假设检验与置信区间中等

64 名学生的样本平均分为 197.4，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。

μ₀ = 200x̄ = 197.4s = 8n = 64

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.01 下，用容量为 36 的样本对 H₀: μ = 200 与 H₁: μ > 200 进行单侧 z 检验；已知标准差为 3。实际上均值为 201.2。求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。

μ₀ = 200μ = 201.2σ = 3n = 36α = 0.01

1 − β = %

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 68？

n = 6ŷ = 68

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 13362 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.036000000000000004/4 = 0.009

N = m·n = 4·3 = 12

终值

FV = 12 000·(1 + 0.009)¹² = 12 000·1.114 = €13 362.12

答案

FV = €13 362.12

2.货币的时间价值

答案: A = 1611 €

月利率和还款期数

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·25 = 300

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.224

A = 250 000·0.005/(1 − 0.224) = €1 610.75

答案

A = €1 610.75

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −17273 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 21 000/1.12 = 18 750.00

CF₂/(1 + 0.12)² = 23 000/1.254 = 18 335.46

CF₃/(1 + 0.12)³ = 29 000/1.405 = 20 641.63

相加

NPV = €−17 272.91

答案

NPV = €−17 272.91

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 45.2 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(45%) = 116.45

NPV(50%) = −2 703.70

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 45 + 5·116.45/(116.45 − (−2 703.70)) = 45.21%

精确: NPV(45.2%) = 0 → IRR = 45.2%

答案

IRR = 45.2%

5.债券定价与收益率

答案: c = 3.003 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.07)⁻¹⁵ = €362.45

票息

C = (636 − 362.45)/9.108 = €30.03

票面利率

c = 30.03/1000 = 3.003%

答案

c = 3.003%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.498 %

每期

C = €10.00, N = 14

数值求解

i = 2.749% 每半年

YTM

YTM = 2·2.749% = 5.498%

答案

YTM = 5.498%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.829 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.75) = 0.5714

D/V = 0.75/(1 + 0.75) = 0.4286

WACC

WACC = 0.5714·13% + 0.4286·7%·(1 − 0.2) = 9.829%

答案

WACC = 9.829%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.966 %

市场价值

E = 5 000 000·€50.00 = €250 000 000

D = 10 000·€1 020 = €10 200 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 1.2·6% = 8.2%

权重

V = €260 200 000, E/V = 0.9608, D/V = 0.0392

WACC

WACC = 0.9608·8.2% + 0.0392·3%·(1 − 0.258) = 7.966%

答案

WACC = 7.966%

9.描述统计

答案: s = 7.861

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 98/5 = 19.6

离差平方

Σ(x − x̄)² = 3.4² + (−2.6)² + (−9.6)² + (−2.6)² + 11.4² = 247.2

标准差

s = √(247.2/4) = 7.861

答案

s = 7.861

10.描述统计

答案: z = 0.4

标准化

z = (74.8 − 70)/12 = 0.4

答案

z = 0.4

11.概率

答案: N = 56

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(8, 3) = (8·7·6)/(3·2·1) = 56

答案

N = 56

12.概率

答案: σ_Y = 2.088

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

X 的离散程度

μ = 2.9, Var(X) = 1.09, σ_X = 1.044

线性变换

σ_Y = |−2|·1.044 = 2.088

答案

σ_Y = 2.088

均值确实会改变：E(Y) = −2·2.9 + 20 = 14.2。

13.正态分布

答案: z = −1.03

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.8485 = 0.1515

反向查 z 表

在表中找到 0.1515，读出 z。

z = −1.03

答案

z = −1.03

14.正态分布

答案: x = 448.7 h

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

换算回 x

x = 500 + −1.282·40 = 448.74 h

答案

x = 448.74 h

15.置信区间

答案: 下限 = 67.92

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 29, t = 1.699

误差范围

E = 1.699·18/√30 = 5.583

区间

73.5 ± 5.583 → [67.92, 79.08]

答案

下限 = 67.92

16.置信区间

答案: 下限 = −6.582 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

合并标准差

s_p² = (4·2.5² + 6·1.5²)/10 = 3.85

s_p = 1.962

误差范围

E = 1.812·1.962·√(1/5 + 1/7) = 2.082

区间

−4.5 ± 2.082 → [−6.582, −2.418]

答案

下限 = −6.582 kg

17.假设检验与置信区间

答案: t = −2.6

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

检验统计量

t = (197.4 − 200)/1 = −2.6

答案

t = −2.6

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| > 1.998，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: 1 − β = 52.95 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 3/√36 = 0.5

x̄_c = 200 + 2.326·0.5 = 201.2

真实均值下的 z

z = (201.2 − 201.2)/0.5 = −0.074

功率

功效 = P(Z > −0.074) = 52.95%

1 − β = 52.95%

答案

1 − β = 52.95%

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9914

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 103/5 = 20.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 132

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 443.2

答案

r = 0.9914

20.线性回归与相关

答案: x = 5.807

均值

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 399/6 = 66.5

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 85.5

回归直线

b = 85.5/17.5 = 4.886

a = 66.5 − 4.886·5.5 = 39.63

ŷ = 39.63 + 4.886·x

解出 x

x = (68 − 39.63)/4.886 = 5.807

答案

x = 5.807

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