CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 6% 投资 €20 000，按季度复利。求 6 年后的投资价值 FV。

PV = €20 0006% / 4n = 6

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €150 000 的抵押贷款在 30 年内按月等额偿还，年利率 4.8%，按月复利。在第 4 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €150 0004.8% / 12N = 360k = 48

B = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€27 000, €22 000, €12 000, €26 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −60 000CF₁ = 27 000CF₂ = 22 000CF₃ = 12 000CF₄ = 26 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €30 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €17 000, €11 000, €6 500。项目 B 需投入 €40 000，回报为 €10 500, €16 000, €20 500。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −30 000, 17 000, 11 000, 6 500B: −40 000, 10 500, 16 000, 20 500

r* = %

5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 11 年的债券（面值 €1 000，年票息 8%）到期收益率为 3% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 3.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 11y₀ = 3%y₁ = 3.5%

HPR = %

6.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €965，到期收益率为 5%（按年复利），麦考利久期为 11.3 年。如果收益率下降 100 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €965y = 5%D = 11.3Δy = −100 bp

P = €

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.25。其股权资本成本为 10%，税前债务成本为 3%，税率为 25%。求 WACC。

D/E = 0.25r_e = 10%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €14.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 2%，市场回报率为 9%。求 WACC。

β = 1.8r_f = 2%r_m = 9%r_d = 3%T = 25.8%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：41, 37, 17, 37, 33, 25, 58。

n = 7

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 8。求成绩 166 的 z 分数 z。

μ = 170σ = 8x = 166

z =

11.概率中等

袋中有 3 个红球和 8 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

3 / 8

P =

12.概率困难

一份测试有 12 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.25，相互独立。恰好答对 4 题的概率 P 是多少？

n = 12p = 0.25k = 4

P =

13.正态分布中等

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 167.5 和 190.95 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 178σ = 7x₁ = 167.5x₂ = 190.95

P =

14.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.04 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.04 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm

P =

15.置信区间中等

一个包含 11 个个体的样本，均值为 55.5，标准差 s = 10.5。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的上限。

n = 11x̄ = 55.5s = 10.599%t(10) = 3.169

上限 =

16.置信区间困难

总体标准差为 24。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 3？

σ = 24E = 399%

n =

17.假设检验与置信区间中等

81 名学生的样本平均分为 100.5，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。

μ₀ = 100x̄ = 100.5s = 4n = 81

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 95% 的功效检测出均值 3 个单位的偏移。标准差为 20。求最小样本量 n。

α = 0.01功效 = 95%δ = 3σ = 20z_α = 2.326z_β = 1.645

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 3.5 时的 ŷ。

n = 5x = 3.5

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 28590 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.06/4 = 0.015

N = m·n = 4·6 = 24

终值

FV = 20 000·(1 + 0.015)²⁴ = 20 000·1.43 = €28 590.06

答案

FV = €28 590.06

2.货币的时间价值

答案: B = 140126 €

月供

i = 0.004, N = 360

A = 150 000·0.004/(1 − (1 + 0.004)⁻³⁶⁰) = €787.00

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 360 − 48 = 312

B = 787·(1 − (1 + 0.004)⁻³¹²)/0.004 = €140 126.20

答案

B = €140 126.20

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 14080 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 27 000/1.07 = 25 233.64

CF₂/(1 + 0.07)² = 22 000/1.145 = 19 215.65

CF₃/(1 + 0.07)³ = 12 000/1.225 = 9 795.57

CF₄/(1 + 0.07)⁴ = 26 000/1.311 = 19 835.28

相加

NPV = €14 080.15

答案

NPV = €14 080.15

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: r* = 6.203 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −40 000 − (−30 000) = −10 000

ΔCF₁ = 10 500 − 17 000 = −6 500

ΔCF₂ = 16 000 − 11 000 = 5 000

ΔCF₃ = 20 500 − 6 500 = 14 000

差额的 IRR

NPV_Δ(6%) = 72.58

NPV_Δ(7%) = −279.40

r* = 6.203%

答案

r* = 6.203%

校核：在 6.203% 时两个 NPV 都是 €1 185.91。

5.债券定价与收益率

答案: HPR = −0.5732 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €80.00, i = 0.03, N = 11

€80.00·(1 − 0.7224)/0.03 + €1 000·0.7224 = €740.21 + €722.42 = €1 462.63

卖出价

C = €80.00, i = 0.035, N = 10

€80.00·(1 − 0.7089)/0.035 + €1 000·0.7089 = €665.33 + €708.92 = €1 374.25

持有期收益率

HPR = (80 + 1 374.25 − 1 462.63)/1 462.63 = −0.5732%

答案

HPR = −0.5732%

6.债券定价与收益率

答案: P = 1069 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 11.3/1.05 = 10.76

估计的价格变化

%ΔP ≈ −10.76·(−0.01) = 10.76%

P ≈ 965·(1 + 0.1076) = €1 068.85

答案

P = €1 068.85

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.45 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.25) = 0.8

D/V = 0.25/(1 + 0.25) = 0.2

WACC

WACC = 0.8·10% + 0.2·3%·(1 − 0.25) = 8.45%

答案

WACC = 8.45%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 11.82 %

市场价值

E = 5 000 000·€14.50 = €72 500 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 1.8·7% = 14.6%

权重

V = €93 500 000, E/V = 0.7754, D/V = 0.2246

WACC

WACC = 0.7754·14.6% + 0.2246·3%·(1 − 0.258) = 11.82%

答案

WACC = 11.82%

9.描述统计

答案: s = 12.91

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 248/7 = 35.43

离差平方

Σ(x − x̄)² = 5.571² + 1.571² + (−18.43)² + 1.571² + (−2.429)² + (−10.43)² + 22.57² = 999.7

标准差

s = √(999.7/6) = 12.91

答案

s = 12.91

10.描述统计

答案: z = −0.5

标准化

z = (166 − 170)/8 = −0.5

答案

z = −0.5

11.概率

答案: P = 0.05455

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 3/11 · 2/10 = 6/110 = 0.05455

答案

P = 0.05455

12.概率

答案: P = 0.1936

二项分布公式

P(X = 4) = 495·0.25⁴·0.75⁸ = 495·0.003906·0.1001 = 0.1936

答案

P = 0.1936

13.正态分布

答案: P = 0.901

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (167.5 − 178)/7 = −1.5

z₂ = (190.95 − 178)/7 = 1.85

中间面积

P = Φ(1.85) − Φ(−1.5) = 0.9678 − 0.06681 = 0.901

答案

P = 0.901

14.正态分布

答案: P = 0.9633

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02236 mm

标准化

z = (0 − 0.04)/0.02236 = −1.79

概率

P = 1 − Φ(−1.79) = 0.9633

答案

P = 0.9633

15.置信区间

答案: 上限 = 65.53

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 10, t = 3.169

误差范围

E = 3.169·10.5/√11 = 10.03

区间

55.5 ± 10.03 → [45.47, 65.53]

答案

上限 = 65.53

16.置信区间

答案: n = 425

解出 n

n = (2.576·24/3)² = 424.7

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 425

答案

n = 425

17.假设检验与置信区间

答案: t = 1.125

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 4/√81 = 4/9 = 0.4444

检验统计量

t = (100.5 − 100)/0.4444 = 1.125

答案

t = 1.125

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 701

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((2.326 + 1.645)·20/3)² = 700.8

向上取整

n = 701

答案

n = 701

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9528

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 310/5 = 62

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 342

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1364

决定系数

r² = 342²/(90·1364) = 0.9528

答案

r² = 0.9528

y 的变异中约有 95.28% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 19.2

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 103/5 = 20.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28

回归直线

b = −28/10 = −2.8

a = 20.6 − (−2.8)·3 = 29

ŷ = 29 − 2.8·x

预测

ŷ = 29 + (−2.8)·3.5 = 19.2

答案

ŷ = 19.2

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