CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 3 年后需要 €15 000。某账户年利率 3.6%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €15 0003.6% / 12n = 3

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €20 000 的贷款在 3 年内以等额月供偿还。年利率 5.4%，按月复利。求月供 A。

P = €20 0005.4% / 12N = 36

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€5 000, €9 000, €6 000, €9 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 9 000CF₃ = 6 000CF₄ = 9 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €80 000。其现金流在第 1 年年末为 €7 000，之后每年增长 4%，直到第 10 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €80 000CF₁ = €7 000g = 4%n = 10r = 10%

NPV = €

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，9 年后到期。到期收益率为每年 8%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 8%n = 9

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 5% 的票息，4 年后到期。到期收益率为 3.5%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 4YTM = 3.5%

D = 年

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €4 000 000 的股权和价值 €3 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 4.5%，税率为 30%。求 WACC。

E = €4 000 000D = €3 000 000r_e = 11%r_d = 4.5%T = 30%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €56.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 20%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 1.5r_f = 2.5%r_m = 8.5%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：34, 22, 51, 40, 33。

n = 5

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 8。求成绩 58 的 z 分数 z。

μ = 70σ = 8x = 58

z =

11.概率中等

袋中有 4 个红球和 5 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

4 / 5

P =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.15 赢得 €6，以概率 0.05 赢得 €20；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €2€6: p = 0.15€20: p = 0.05

E(G) = €

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0136。求 z，保留两位小数。

A = 0.0136

z =

14.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的前 20% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 250 gσ = 5 g20%

x = g

15.置信区间中等

测量 6 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 3.2，标准差为 8。求平均差值的 95% 置信区间的上限。

n = 6d̄ = 3.2s_d = 895%t(5) = 2.571

上限 = mmHg

16.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：24 块地，平均产量 36.5 kg，标准差 1 kg。地块组 2：7 块地，均值 31.5 kg，标准差 9 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的下限。

n₁ = 24x̄₁ = 36.5s₁ = 1n₂ = 7x̄₂ = 31.5s₂ = 995%t(29) = 2.045

下限 = kg

17.假设检验与置信区间中等

16 名学生的样本平均分为 505.1，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。

μ₀ = 500x̄ = 505.1s = 12n = 16

t =

18.假设检验与置信区间困难

81 次测量的样本均值为 100.2。总体标准差为 8。求均值 95% 置信区间的上限 U。

x̄ = 100.2σ = 8n = 8195%

U =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 6

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (6, 72)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 6(6, 72)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 13467 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·3 = 36

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1.114 = €13 466.59

答案

PV = €13 466.59

2.货币的时间价值

答案: A = 603 €

月利率和还款期数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·3 = 36

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8508

A = 20 000·0.0045/(1 − 0.8508) = €603.02

答案

A = €603.02

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 5513 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.05)¹ = 5 000/1.05 = 4 761.90

CF₂/(1 + 0.05)² = 9 000/1.103 = 8 163.27

CF₃/(1 + 0.05)³ = 6 000/1.158 = 5 183.03

CF₄/(1 + 0.05)⁴ = 9 000/1.216 = 7 404.32

相加

NPV = €5 512.52

答案

NPV = €5 512.52

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: NPV = −29915 €

增长型年金的现值

((1.04)/(1.1))¹⁰ = 0.5707

PV = 7 000/(0.1 − 0.04)·(1 − 0.5707) = 50 085.20

NPV

NPV = 50 085.20 − 80 000 = −€29 914.80

答案

NPV = −€29 914.80

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

5.债券定价与收益率

答案: P = 936.7 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.04, N = 18

票息的现值

€35.00·(1 − 0.4936)/0.04 = €443.08

面值的现值

€1 000·0.4936 = €493.63

价格

P = €936.70

答案

P = €936.70

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: D = 3.731 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 50/1.035 = 48.31, t·PV = 48.31

t = 2: 50/1.071 = 46.68, t·PV = 93.35

t = 3: 50/1.109 = 45.10, t·PV = 135.29

t = 4: 1050/1.148 = 915.01, t·PV = 3 660.06

久期

P = 1 055.10

D = 3 937.01/1 055.10 = 3.731

答案

D = 3.731 年

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.636 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.5714, D/V = 0.4286

WACC

WACC = 0.5714·11% + 0.4286·4.5%·(1 − 0.3) = 7.636%

答案

WACC = 7.636%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.48 %

市场价值

E = 2 000 000·€56.00 = €112 000 000

D = 20 000·€1 000 = €20 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.5·6% = 11.5%

权重

V = €132 000 000, E/V = 0.8485, D/V = 0.1515

WACC

WACC = 0.8485·11.5% + 0.1515·6%·(1 − 0.2) = 10.48%

答案

WACC = 10.48%

9.描述统计

答案: s = 10.61

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 180/5 = 36

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−2)² + (−14)² + 15² + 4² + (−3)² = 450

标准差

s = √(450/4) = 10.61

答案

s = 10.61

10.描述统计

答案: z = −1.5

标准化

z = (58 − 70)/8 = −1.5

答案

z = −1.5

11.概率

答案: P = 0.1667

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 4/9 · 3/8 = 12/72 = 0.1667

答案

P = 0.1667

12.概率

答案: E(G) = −0.1 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 4 (p = 0.15), 18 (p = 0.05), −2 (p = 0.8)

期望值

E(G) = 4·0.15 + 18·0.05 − 2·0.8 = −0.1 €

答案

E(G) = −0.1 €

负值表示平均而言你会亏钱。

13.正态分布

答案: z = 2.21

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.0136 = 0.9864

反向查 z 表

在表中找到 0.9864，读出 z。

z = 2.21

答案

z = 2.21

14.正态分布

答案: x = 254.2 g

左侧的面积

Φ(z) = 0.8

由表得到的 z

z ≈ 0.84

回到原来的单位

x = 250 + 0.84·5 = 254.2 g

答案

x = 254.2 g

15.置信区间

答案: 上限 = 11.6 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

临界值

df = 5, t = 2.571

误差范围

E = 2.571·8/√6 = 8.397

区间

3.2 ± 8.397 → [−5.197, 11.6]

答案

上限 = 11.6 mmHg

16.置信区间

答案: 下限 = 1.32 kg

合并标准差

s_p² = (23·1² + 6·9²)/29 = 17.55

s_p = 4.189

误差范围

E = 2.045·4.189·√(1/24 + 1/7) = 3.68

区间

5 ± 3.68 → [1.32, 8.68]

答案

下限 = 1.32 kg

17.假设检验与置信区间

答案: t = 1.7

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

检验统计量

t = (505.1 − 500)/3 = 1.7

答案

t = 1.7

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: U = 101.9

误差范围

E = 1.96·8/√81 = 1.742

区间端点

U = 100.2 + 1.742 = 101.9

答案

U = 101.9

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9772

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 408/6 = 68

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 724

答案

r = 0.9772

20.线性回归与相关

答案: e = 5.1

均值

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 465/6 = 77.5

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 371

回归直线

b = 371/70 = 5.3

a = 77.5 − 5.3·8 = 35.1

ŷ = 35.1 + 5.3·x

预测值

ŷ = 35.1 + 5.3·6 = 66.9

残差

e = 72 − 66.9 = 5.1

答案

e = 5.1

该点位于直线上方。

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