CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €500，共 17 年。年利率为 6%。求该年金的现值 PV。

A = €500i = 6%n = 17

PV = €

2.货币的时间价值困难

你希望在 15 年后得到 €50 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 3.6%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €50 0003.6% / 12N = 180

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€15 000, €20 000, €17 000。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

r = 6%CF₀ = −45 000CF₁ = 15 000CF₂ = 20 000CF₃ = 17 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €13 000, €12 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 000CF₂ = 12 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 4 年后到期，每年付息。到期收益率为 7% 时其售价为 €898。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 4P = €898YTM = 7%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 9 年后到期，售价为 €910。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 9P = €910

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €10 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 4.5%，税率为 25.8%。求 WACC。

E = €10 000 000D = €1 000 000r_e = 11%r_d = 4.5%T = 25.8%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €23.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 28%。股票的 β 系数为 1.3，无风险利率为 4%，市场回报率为 10%。求 WACC。

β = 1.3r_f = 4%r_m = 10%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：29, 36, 35, 52, 40, 32。

n = 6

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 20。求成绩 34 的 z 分数 z。

μ = 50σ = 20x = 34

z =

11.概率中等

一颗均匀骰子掷 8 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 8

P =

12.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 3X + 10。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.25, 0.25, 0.3, 0.15, 0.05Y = 3X + 10

σ_Y =

13.正态分布中等

X 服从均值 12 min、标准差 1.5 min 的正态分布；Y 独立，服从均值 20 min、标准差 2 min 的正态分布。求 X + Y 大于 34.5 min 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 34.5 min

P =

14.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 75% 的数据低于它（第 75 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 75%

x = 分

15.置信区间中等

一个包含 8 个个体的样本，均值为 69.5，标准差 s = 8.5。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的上限。

n = 8x̄ = 69.5s = 8.595%t(7) = 2.365

上限 =

16.置信区间困难

总体标准差为 14。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 4？

σ = 14E = 490%

n =

17.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：60 个零件的样本平均长度为 64 mm，该生产线的已知标准差为 18 mm。生产线 2：80 个零件的样本均值为 70 mm，已知标准差为 5 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 60x̄₁ = 64 mmσ₁ = 18 mmn₂ = 80x̄₂ = 70 mmσ₂ = 5 mm

z =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.10 下，用容量为 64 的样本对 H₀: μ = 200 与 H₁: μ > 200 进行单侧 z 检验；已知标准差为 8。实际上均值为 203。求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。

μ₀ = 200μ = 203σ = 8n = 64α = 0.10

1 − β = %

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (5.5, 48)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 6(5.5, 48)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 5239 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.3714)/0.06 = 10.48

现值

PV = 500·10.48 = €5 238.63

答案

PV = €5 238.63

2.货币的时间价值

答案: A = 209.9 €

月利率和存款次数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·15 = 180

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 50 000·0.003/(1.715 − 1) = €209.90

答案

A = €209.90

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 1224 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.06)¹ = 15 000/1.06 = 14 150.94

CF₂/(1 + 0.06)² = 20 000/1.124 = 17 799.93

CF₃/(1 + 0.06)³ = 17 000/1.191 = 14 273.53

相加

NPV = €1 224.40

答案

NPV = €1 224.40

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 16.5 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(15%) = 378.07

NPV(20%) = −833.33

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 15 + 5·378.07/(378.07 − (−833.33)) = 16.56%

精确: NPV(16.5%) = 0 → IRR = 16.5%

答案

IRR = 16.5%

5.债券定价与收益率

答案: c = 3.989 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.07)⁻⁴ = €762.90

票息

C = (898 − 762.90)/3.387 = €39.89

票面利率

c = 39.89/1000 = 3.989%

答案

c = 3.989%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 9.534 %

收益率方程

€910 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

数值求解

P(9%) = €940.05, P(10%) = €884.82

YTM = 9.534%

答案

YTM = 9.534%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.3 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €11 000 000, E/V = 0.9091, D/V = 0.09091

WACC

WACC = 0.9091·11% + 0.09091·4.5%·(1 − 0.258) = 10.3%

答案

WACC = 10.3%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.59 %

市场价值

E = 5 000 000·€23.00 = €115 000 000

D = 20 000·€1 000 = €20 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 1.3·6% = 11.8%

权重

V = €135 000 000, E/V = 0.8519, D/V = 0.1481

WACC

WACC = 0.8519·11.8% + 0.1481·5%·(1 − 0.28) = 10.59%

答案

WACC = 10.59%

9.描述统计

答案: s = 8.091

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 224/6 = 37.33

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−8.333)² + (−1.333)² + (−2.333)² + 14.67² + 2.667² + (−5.333)² = 327.3

标准差

s = √(327.3/5) = 8.091

答案

s = 8.091

10.描述统计

答案: z = −0.8

标准化

z = (34 − 50)/20 = −0.8

答案

z = −0.8

11.概率

答案: P = 0.7674

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁸ = 0.2326

P = 1 − 0.2326 = 0.7674

答案

P = 0.7674

12.概率

答案: σ_Y = 3.486

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

X 的离散程度

μ = 2.5, Var(X) = 1.35, σ_X = 1.162

线性变换

σ_Y = |3|·1.162 = 3.486

答案

σ_Y = 3.486

均值确实会改变：E(Y) = 3·2.5 + 10 = 17.5。

13.正态分布

答案: P = 0.1587

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

标准化

z = (34.5 − 32)/2.5 = 1

上尾

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587

答案

P = 0.1587

14.正态分布

答案: x = 110.1 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

换算回 x

x = 100 + 0.6745·15 = 110.12 分

答案

x = 110.12 分

15.置信区间

答案: 上限 = 76.61

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 7, t = 2.365

误差范围

E = 2.365·8.5/√8 = 7.107

区间

69.5 ± 7.107 → [62.39, 76.61]

答案

上限 = 76.61

16.置信区间

答案: n = 34

解出 n

n = (1.645·14/4)² = 33.15

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 34

答案

n = 34

17.假设检验与置信区间

答案: z = −2.51

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(18²/60 + 5²/80) = √5.713 = 2.39

检验统计量

z = (64 − 70)/2.39 = −2.51

答案

z = −2.51

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: 1 − β = 95.71 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 8/√64 = 1

x̄_c = 200 + 1.282·1 = 201.3

真实均值下的 z

z = (201.3 − 203)/1 = −1.718

功率

功效 = P(Z > −1.718) = 95.71%

1 − β = 95.71%

答案

1 − β = 95.71%

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9869

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 449/6 = 74.83

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 329

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1567

决定系数

r² = 329²/(70·1567) = 0.9869

答案

r² = 0.9869

y 的变异中约有 98.69% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: e = −3.9

均值

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 291/6 = 48.5

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 59.5

回归直线

b = 59.5/17.5 = 3.4

a = 48.5 − 3.4·4.5 = 33.2

ŷ = 33.2 + 3.4·x

预测值

ŷ = 33.2 + 3.4·5.5 = 51.9

残差

e = 48 − 51.9 = −3.9

答案

e = −3.9

该点位于直线下方。

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