CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 5% 的利率连续复利投资 €20 000。求 15 年后的价值 FV。

PV = €20 000r = 5%t = 15

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 27 年内每月月末存入 €100。账户年利率 3.6%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1003.6% / 12N = 324

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€23 000, €24 000, €25 000, €17 000。资本成本为 15%。求净现值 NPV。

r = 15%CF₀ = −60 000CF₁ = 23 000CF₂ = 24 000CF₃ = 25 000CF₄ = 17 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €28 000, €14 000, €29 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 28 000CF₂ = 14 000CF₃ = 29 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 10 年的债券（面值 €1 000，年票息 4.5%）到期收益率为 5% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 5.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 10y₀ = 5%y₁ = 5.5%

HPR = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 3 年后到期，售价为 €940。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 3P = €940

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €8 000 000 的普通股、价值 €2 000 000 的优先股和价值 €5 000 000 的债务构成。股权资本成本为 11%，优先股成本为 6%，税前债务成本为 5%。税率为 30%。求 WACC。

E = €8 000 000P_s = €2 000 000D = €5 000 000r_e = 11%r_p = 6%r_d = 5%T = 30%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €15 000 000，股权资本成本为 11%。其债务由 4 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 5%，剩余期限 4 年），每张交易价格为 €1 055。税率为 20%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €15 000 000r_e = 11%债券: 4 000 × €1 055票面利率 = 5%n = 4T = 20%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：34, 12, 51, 54, 23。

n = 5

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 8。数值高于 174.8 的比例 P 是多少？

μ = 170σ = 8x = 174.8

P =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.2, 0.05, 0.15, 0.25

Var(X) =

12.概率困难

一份测试有 5 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.5，相互独立。恰好答对 2 题的概率 P 是多少？

n = 5p = 0.5k = 2

P =

13.正态分布中等

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 53 和 77.5 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 65σ = 10x₁ = 53x₂ = 77.5

P =

14.正态分布困难

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 95% 的数据低于它（第 95 百分位数）。

μ = 32σ = 6P = 95%

x = min

15.置信区间中等

一个包含 6 个个体的样本，均值为 77.5，标准差 s = 14。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的下限。

n = 6x̄ = 77.5s = 1499%t(5) = 4.032

下限 =

16.置信区间困难

总体标准差为 25。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1.5？

σ = 25E = 1.590%

n =

17.假设检验与置信区间中等

比较两种教学方法。第 1 组：8 名学生，平均分 106，标准差 4.5。第 2 组：6 名学生，平均分 96.6，标准差 10.5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。

n₁ = 8x̄₁ = 106s₁ = 4.5n₂ = 6x̄₂ = 96.6s₂ = 10.5

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 3 个单位的偏移。标准差为 18。求最小样本量 n。

α = 0.01功效 = 90%δ = 3σ = 18z_α = 2.326z_β = 1.282

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 12？

n = 6ŷ = 12

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 42340 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.05·15 = 0.75

e^0.75 = 2.117

终值

FV = 20 000·2.117 = €42 340.00

答案

FV = €42 340.00

2.货币的时间价值

答案: FV = 54646 €

月利率和存款次数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·27 = 324

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(2.639 − 1)/0.003 = €54 646.08

答案

FV = €54 646.08

你自己存入了 €32 400；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 4305 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.15)¹ = 23 000/1.15 = 20 000.00

CF₂/(1 + 0.15)² = 24 000/1.322 = 18 147.45

CF₃/(1 + 0.15)³ = 25 000/1.521 = 16 437.91

CF₄/(1 + 0.15)⁴ = 17 000/1.749 = 9 719.81

相加

NPV = €4 305.16

答案

NPV = €4 305.16

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 35.4 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(35%) = 209.32

NPV(40%) = −2 288.63

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 35 + 5·209.32/(209.32 − (−2 288.63)) = 35.42%

精确: NPV(35.4%) = 0 → IRR = 35.4%

答案

IRR = 35.4%

5.债券定价与收益率

答案: HPR = 1.465 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €45.00, i = 0.05, N = 10

€45.00·(1 − 0.6139)/0.05 + €1 000·0.6139 = €347.48 + €613.91 = €961.39

卖出价

C = €45.00, i = 0.055, N = 9

€45.00·(1 − 0.6176)/0.055 + €1 000·0.6176 = €312.85 + €617.63 = €930.48

持有期收益率

HPR = (45 + 930.48 − 961.39)/961.39 = 1.465%

答案

HPR = 1.465%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 10.43 %

收益率方程

€940 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(10%) = €950.26, P(11%) = €926.69

YTM = 10.43%

答案

YTM = 10.43%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.833 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 8 000 000 + 2 000 000 + 5 000 000 = €15 000 000

E/V = 0.5333, P_s/V = 0.1333, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.5333·11% + 0.1333·6% + 0.3333·5%·(1 − 0.3) = 7.833%

答案

WACC = 7.833%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.2 %

债务成本 (YTM)

1055 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1000/(1 + y)⁴

y = 3.503%

市场价值

D = 4 000·€1 055 = €4 220 000

V = €19 220 000, E/V = 0.7804, D/V = 0.2196

WACC

WACC = 0.7804·11% + 0.2196·3.503%·(1 − 0.2) = 9.2%

答案

WACC = 9.2%

9.描述统计

答案: s = 17.96

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 174/5 = 34.8

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−0.8)² + (−22.8)² + 16.2² + 19.2² + (−11.8)² = 1291

标准差

s = √(1291/4) = 17.96

答案

s = 17.96

10.描述统计

答案: P = 0.2743

标准化

z = 0.6

标准正态分布表

Φ(0.6) = 0.7257

P = 1 − 0.7257 = 0.2743

答案

P = 0.2743

11.概率

答案: Var(X) = 2.688

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.35 + 1·0.2 + 2·0.05 + 3·0.15 + 4·0.25 = 1.75

平方的均值

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.2 + 4·0.05 + 9·0.15 + 16·0.25 = 5.75

方差

Var(X) = 5.75 − 1.75² = 2.688

答案

Var(X) = 2.688

12.概率

答案: P = 0.3125

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二项分布公式

P(X = 2) = 10·0.5²·0.5³ = 10·0.25·0.125 = 0.3125

答案

P = 0.3125

13.正态分布

答案: P = 0.7793

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (53 − 65)/10 = −1.2

z₂ = (77.5 − 65)/10 = 1.25

中间面积

P = Φ(1.25) − Φ(−1.2) = 0.8944 − 0.1151 = 0.7793

答案

P = 0.7793

14.正态分布

答案: x = 41.87 min

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

换算回 x

x = 32 + 1.645·6 = 41.87 min

答案

x = 41.87 min

15.置信区间

答案: 下限 = 54.46

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 5, t = 4.032

误差范围

E = 4.032·14/√6 = 23.04

区间

77.5 ± 23.04 → [54.46, 100.5]

答案

下限 = 54.46

16.置信区间

答案: n = 752

解出 n

n = (1.645·25/1.5)² = 751.7

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 752

答案

n = 752

17.假设检验与置信区间

答案: t = 2.29

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

合并方差

s_p² = (7·4.5² + 5·10.5²)/12 = 57.75

s_p = 7.599

标准误

SE = 7.599·√(1/8 + 1/6) = 4.104

检验统计量

t = (106 − 96.6)/4.104 = 2.29

答案

t = 2.29

df = 12 时，双侧 5% 的临界值为 2.179；|t| 更大，所以拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 469

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((2.326 + 1.282)·18/3)² = 468.6

向上取整

n = 469

答案

n = 469

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9718

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 118/6 = 19.67

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 176

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 455.3

决定系数

r² = 176²/(70·455.3) = 0.9718

答案

r² = 0.9718

y 的变异中约有 97.18% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: x = 4.506

均值

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 92/6 = 15.33

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −58

回归直线

b = −58/17.5 = −3.314

a = 15.33 − (−3.314)·3.5 = 26.93

ŷ = 26.93 − 3.314·x

解出 x

x = (12 − 26.93)/(−3.314) = 4.506

答案

x = 4.506

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