CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 21%，按月复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 21%m = 12

EAR = %

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的抵押贷款在 20 年内按月等额偿还，年利率 3%，按月复利。在第 10 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €200 0003% / 12N = 240k = 120

B = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €250 000。它在第一年年末产生 €23 000，之后现金流每年永久增长 1%。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €250 000CF₁ = €23 000g = 1%r = 8%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €17 500, €9 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 17 500CF₂ = 9 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 11 年的债券（面值 €1 000，年票息 6%）到期收益率为 2.5% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 3% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 11y₀ = 2.5%y₁ = 3%

HPR = %

6.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €1 075，到期收益率为 3%（按年复利），麦考利久期为 7.5 年。如果收益率上升 75 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €1 075y = 3%D = 7.5Δy = +75 bp

P = €

7.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 0.9 的股票要求回报为 5.55%。无风险利率为 1.5%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 0.9r_e = 5.55%r_f = 1.5%

r_m = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €36.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 30%。股票的 β 系数为 0.9，无风险利率为 4%，市场回报率为 9.5%。求 WACC。

β = 0.9r_f = 4%r_m = 9.5%r_d = 3.5%T = 30%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：30, 28, 36, 17, 59, 36, 43。

n = 7

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 12。数值高于 54 的比例 P 是多少？

μ = 60σ = 12x = 54

P =

11.概率中等

从 13 人中选出 3 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 13k = 3

N =

12.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 3X + 5。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.25, 0.05, 0.25, 0.1, 0.35Y = 3X + 5

σ_Y =

13.正态分布中等

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 164 和 190.6 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 178σ = 7x₁ = 164x₂ = 190.6

P =

14.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 99% 的数据低于它（第 99 百分位数）。

μ = 178σ = 7P = 99%

x = cm

15.置信区间中等

一个包含 12 个个体的样本，均值为 83.5，标准差 s = 7.5。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的下限。

n = 12x̄ = 83.5s = 7.599%t(11) = 3.106

下限 =

16.置信区间困难

总体标准差为 11。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 3？

σ = 11E = 399%

n =

17.假设检验与置信区间中等

15 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 −8.6，差值的标准差为 11.1。求 H₀: μ_d = 0 的配对检验统计量 t。

n = 15d̄ = −8.6s_d = 11.1

t =

18.假设检验与置信区间困难

49 次测量的样本均值为 77.2。总体标准差为 12。求均值 90% 置信区间的下限 L。

x̄ = 77.2σ = 12n = 4990%

L =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 30Σy = 129Σx² = 220Σy² = 3979Σxy = 934

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (2.5, 47)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 6(2.5, 47)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 23.14 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.21/12 = 0.0175

复利一年

EAR = (1 + 0.0175)¹² − 1 = 1.231 − 1 = 23.14%

答案

EAR = 23.14%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: B = 114870 €

月供

i = 0.0025, N = 240

A = 200 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)⁻²⁴⁰) = €1 109.20

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 240 − 120 = 120

B = 1109·(1 − (1 + 0.0025)⁻¹²⁰)/0.0025 = €114 870.20

答案

B = €114 870.20

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 78571 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 23 000/(0.08 − 0.01) = 328 571.43

NPV

NPV = 328 571.43 − 250 000 = €78 571.43

答案

NPV = €78 571.43

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 4.462 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(0%) = 1 500.00

NPV(5%) = −170.07

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 0 + 5·1 500.00/(1 500.00 − (−170.07)) = 4.491%

精确: NPV(4.462%) = 0 → IRR = 4.462%

答案

IRR = 4.462%

5.债券定价与收益率

答案: HPR = −1.282 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €60.00, i = 0.025, N = 11

€60.00·(1 − 0.7621)/0.025 + €1 000·0.7621 = €570.85 + €762.14 = €1 333.00

卖出价

C = €60.00, i = 0.03, N = 10

€60.00·(1 − 0.7441)/0.03 + €1 000·0.7441 = €511.81 + €744.09 = €1 255.91

持有期收益率

HPR = (60 + 1 255.91 − 1 333.00)/1 333.00 = −1.282%

答案

HPR = −1.282%

6.债券定价与收益率

答案: P = 1016 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 7.5/1.03 = 7.282

估计的价格变化

%ΔP ≈ −7.282·(0.0075) = −5.461%

P ≈ 1075·(1 − 0.05461) = €1 016.29

答案

P = €1 016.29

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

7.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 6 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (5.55% − 1.5%)/0.9 = 4.5%

市场回报

r_m = 1.5% + 4.5% = 6%

答案

r_m = 6%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.82 %

市场价值

E = 2 500 000·€36.50 = €91 250 000

D = 20 000·€960 = €19 200 000

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 0.9·5.5% = 8.95%

权重

V = €110 450 000, E/V = 0.8262, D/V = 0.1738

WACC

WACC = 0.8262·8.95% + 0.1738·3.5%·(1 − 0.3) = 7.82%

答案

WACC = 7.82%

9.描述统计

答案: s = 13.15

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 249/7 = 35.57

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−5.571)² + (−7.571)² + 0.4286² + (−18.57)² + 23.43² + 0.4286² + 7.429² = 1038

标准差

s = √(1038/6) = 13.15

答案

s = 13.15

10.描述统计

答案: P = 0.6915

标准化

z = −0.5

标准正态分布表

Φ(−0.5) = 0.3085

P = 1 − 0.3085 = 0.6915

答案

P = 0.6915

11.概率

答案: N = 286

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(13, 3) = (13·12·11)/(3·2·1) = 286

答案

N = 286

12.概率

答案: σ_Y = 4.732

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

X 的离散程度

μ = 3.25, Var(X) = 2.488, σ_X = 1.577

线性变换

σ_Y = |3|·1.577 = 4.732

答案

σ_Y = 4.732

均值确实会改变：E(Y) = 3·3.25 + 5 = 14.75。

13.正态分布

答案: P = 0.9413

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (164 − 178)/7 = −2

z₂ = (190.6 − 178)/7 = 1.8

中间面积

P = Φ(1.8) − Φ(−2) = 0.9641 − 0.02275 = 0.9413

答案

P = 0.9413

14.正态分布

答案: x = 194.3 cm

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

换算回 x

x = 178 + 2.326·7 = 194.28 cm

答案

x = 194.28 cm

15.置信区间

答案: 下限 = 76.78

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 11, t = 3.106

误差范围

E = 3.106·7.5/√12 = 6.725

区间

83.5 ± 6.725 → [76.78, 90.22]

答案

下限 = 76.78

16.置信区间

答案: n = 90

解出 n

n = (2.576·11/3)² = 89.21

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 90

答案

n = 90

17.假设检验与置信区间

答案: t = −3.001

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

平均差值的标准误

SE = 11.1/√15 = 2.866

检验统计量

t = −8.6/2.866 = −3.001

答案

t = −3.001

df = 14 时，双侧 5% 的临界值为 2.145；|t| 更大，所以拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: L = 74.38

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 1.645·12/√49 = 2.82

区间端点

L = 77.2 − 2.82 = 74.38

答案

L = 74.38

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9917

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 934 − 30·129/5 = 160

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 3979 − 129²/5 = 650.8

答案

r = 0.9917

20.线性回归与相关

答案: e = 1.9

均值

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 291/6 = 48.5

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 59.5

回归直线

b = 59.5/17.5 = 3.4

a = 48.5 − 3.4·3.5 = 36.6

ŷ = 36.6 + 3.4·x

预测值

ŷ = 36.6 + 3.4·2.5 = 45.1

残差

e = 47 − 45.1 = 1.9

答案

e = 1.9

该点位于直线上方。

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