CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 6% 投资 €2 000，按月复利。求 3 年后的投资价值 FV。

PV = €2 0006% / 12n = 3

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €150 000 的贷款在 25 年内以等额月供偿还。年利率 4.8%，按月复利。求月供 A。

P = €150 0004.8% / 12N = 300

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €40 000，在第 1 年到第 5 年的每年年末回报 €16 500, €18 000, €12 500, €18 000, €16 500。资本成本为 8%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 8%CF₀ = −40 000CF₁ = 16 500CF₂ = 18 000CF₃ = 12 500CF₄ = 18 000CF₅ = 16 500

DPB = 年

4.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €10 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €6 000, €4 000, €2 500。项目 B 需投入 €12 000，回报为 €3 500, €4 500, €7 500。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −10 000, 6 000, 4 000, 2 500B: −12 000, 3 500, 4 500, 7 500

r* = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4.5%，每半年付息一次，7 年后到期。到期收益率为每年 3%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4.5%YTM = 3%n = 7

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €1 060，到期收益率为 3%（按年复利），麦考利久期为 9.9 年。如果收益率上升 75 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €1 060y = 3%D = 9.9Δy = +75 bp

P = €

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €2 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 8%，税前债务成本为 5%，税率为 28%。求 WACC。

E = €2 000 000D = €6 000 000r_e = 8%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €48.50 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 21%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 2%，市场回报率为 6.5%。求 WACC。

β = 0.8r_f = 2%r_m = 6.5%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：54, 25, 21, 44, 27, 10, 13。

n = 7

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 12。数值低于 44 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 12x = 44

P =

11.概率中等

一颗均匀骰子掷 2 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 2

P =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €10。你以概率 0.25 赢得 €40，以概率 0.01 赢得 €100；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €10€40: p = 0.25€100: p = 0.01

E(G) = €

13.正态分布中等

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 247.75 和 251.25 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 250σ = 5x₁ = 247.75x₂ = 251.25

P =

14.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 25% 的数据低于它（第 25 百分位数）。

μ = 250σ = 5P = 25%

x = g

15.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：50 部手机，均值 48.5 h，已知标准差 7 h。型号 2：30 部手机，均值 50 h，已知标准差 5 h。求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的上限。

n₁ = 50x̄₁ = 48.5 hσ₁ = 7 hn₂ = 30x̄₂ = 50 hσ₂ = 5 h95%

上限 = h

16.置信区间困难

总体标准差为 18。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.5？

σ = 18E = 0.595%

n =

17.假设检验与置信区间中等

36 名学生的样本平均分为 121.4，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 121.4s = 4n = 36

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 2.5 个单位的偏移。标准差为 14。求最小样本量 n。

α = 0.05功效 = 80%δ = 2.5σ = 14z_α = 1.645z_β = 0.842

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 6Σx = 42Σy = 94Σx² = 364Σy² = 1726Σxy = 790

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 3.5 时的 ŷ。

n = 6x = 3.5

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 2393 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.06/12 = 0.005

N = m·n = 12·3 = 36

终值

FV = 2 000·(1 + 0.005)³⁶ = 2 000·1.197 = €2 393.36

答案

FV = €2 393.36

2.货币的时间价值

答案: A = 859.5 €

月利率和还款期数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·25 = 300

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.3019

A = 150 000·0.004/(1 − 0.3019) = €859.50

答案

A = €859.50

3.NPV 与 IRR

答案: DPB = 2.936 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 16 500/1.08 = 15 277.78 → Σ = 15 277.78

年份 2: 18 000/1.166 = 15 432.10 → Σ = 30 709.88

年份 3: 12 500/1.26 = 9 922.90 → Σ = 40 632.78

最后一年的分数

DPB = 2 + 9 290.12/9 922.90 = 2.936

答案

DPB = 2.936 年

折现回收期总是长于简单回收期（2.44 年）。

4.NPV 与 IRR

答案: r* = 8.873 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −12 000 − (−10 000) = −2 000

ΔCF₁ = 3 500 − 6 000 = −2 500

ΔCF₂ = 4 500 − 4 000 = 500

ΔCF₃ = 7 500 − 2 500 = 5 000

差额的 IRR

NPV_Δ(8%) = 83.02

NPV_Δ(9%) = −11.82

r* = 8.873%

答案

r* = 8.873%

校核：在 8.873% 时两个 NPV 都是 €822.79。

5.债券定价与收益率

答案: P = 1094 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €22.50, i = 0.015, N = 14

票息的现值

€22.50·(1 − 0.8118)/0.015 = €282.23

面值的现值

€1 000·0.8118 = €811.85

价格

P = €1 094.08

答案

P = €1 094.08

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: P = 983.6 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 9.9/1.03 = 9.612

估计的价格变化

%ΔP ≈ −9.612·(0.0075) = −7.209%

P ≈ 1060·(1 − 0.07209) = €983.59

答案

P = €983.59

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 4.7 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €8 000 000, E/V = 0.25, D/V = 0.75

WACC

WACC = 0.25·8% + 0.75·5%·(1 − 0.28) = 4.7%

答案

WACC = 4.7%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.564 %

市场价值

E = 2 500 000·€48.50 = €121 250 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 0.8·4.5% = 5.6%

权重

V = €126 500 000, E/V = 0.9585, D/V = 0.0415

WACC

WACC = 0.9585·5.6% + 0.0415·6%·(1 − 0.21) = 5.564%

答案

WACC = 5.564%

9.描述统计

答案: s = 16.02

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 194/7 = 27.71

离差平方

Σ(x − x̄)² = 26.29² + (−2.714)² + (−6.714)² + 16.29² + (−0.7143)² + (−17.71)² + (−14.71)² = 1539

标准差

s = √(1539/6) = 16.02

答案

s = 16.02

10.描述统计

答案: P = 0.3085

标准化

z = −0.5

标准正态分布表

Φ(−0.5) = 0.3085

P = 0.3085

答案

P = 0.3085

11.概率

答案: P = 0.3056

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)² = 0.6944

P = 1 − 0.6944 = 0.3056

答案

P = 0.3056

12.概率

答案: E(G) = 1 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 30 (p = 0.25), 90 (p = 0.01), −10 (p = 0.74)

期望值

E(G) = 30·0.25 + 90·0.01 − 10·0.74 = 1 €

答案

E(G) = 1 €

正值表示平均而言你会赢钱。

13.正态分布

答案: P = 0.2724

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (247.75 − 250)/5 = −0.45

z₂ = (251.25 − 250)/5 = 0.25

中间面积

P = Φ(0.25) − Φ(−0.45) = 0.5987 − 0.3264 = 0.2724

答案

P = 0.2724

14.正态分布

答案: x = 246.6 g

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745

换算回 x

x = 250 + −0.6745·5 = 246.63 g

答案

x = 246.63 g

15.置信区间

答案: 上限 = 1.139 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 48.5 − 50 = −1.5

标准误

SE = √(7²/50 + 5²/30) = 1.347

误差范围

E = 1.96·1.347 = 2.639

区间

−1.5 ± 2.639 → [−4.139, 1.139]

答案

上限 = 1.139 h

区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。

16.置信区间

答案: n = 4979

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.96·18/0.5)² = 4979

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 4979

答案

n = 4979

17.假设检验与置信区间

答案: t = 2.1

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 4/√36 = 4/6 = 0.6667

检验统计量

t = (121.4 − 120)/0.6667 = 2.1

答案

t = 2.1

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| > 2.03，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 194

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((1.645 + 0.842)·14/2.5)² = 194

向上取整

n = 194

答案

n = 194

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9912

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 790 − 42·94/6 = 132

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 1726 − 94²/6 = 253.3

答案

r = 0.9912

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 56.2

均值

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 378/6 = 63

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 119

回归直线

b = 119/17.5 = 6.8

a = 63 − 6.8·4.5 = 32.4

ŷ = 32.4 + 6.8·x

预测

ŷ = 32.4 + 6.8·3.5 = 56.2

答案

ŷ = 56.2

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