CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €6 000 的净租金。租金预计每年永久增长 2%。要求回报率为每年 7%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €6 000g = 2%r = 7%

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 14 年内每月月末存入 €200。账户年利率 4.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €2004.2% / 12N = 168

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€25 000, €19 000, €18 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

r = 9%CF₀ = −75 000CF₁ = 25 000CF₂ = 19 000CF₃ = 18 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €25 000, €19 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 25 000CF₂ = 19 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 12 年的债券（面值 €1 000，年票息 2%）到期收益率为 9% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 10% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 2%n = 12y₀ = 9%y₁ = 10%

HPR = %

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 7% 的票息，分两次半年支付，11 年后到期。其售价为 €1 372。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7% (2×)n = 11P = €1 372

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €8 000 000 的普通股、价值 €1 500 000 的优先股和价值 €6 000 000 的债务构成。股权资本成本为 13%，优先股成本为 6.5%，税前债务成本为 6%。税率为 30%。求 WACC。

E = €8 000 000P_s = €1 500 000D = €6 000 000r_e = 13%r_p = 6.5%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €30.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 20%。股票的 β 系数为 1.2，无风险利率为 1.5%，市场回报率为 5.5%。求 WACC。

β = 1.2r_f = 1.5%r_m = 5.5%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：19, 48, 60, 44, 42, 18。

n = 6

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 5。数值低于 52 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 5x = 52

P =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.25, 0.1, 0.3

Var(X) =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €5。你以概率 0.25 赢得 €10，以概率 0.02 赢得 €100；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €5€10: p = 0.25€100: p = 0.02

E(G) = €

13.正态分布中等

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 422 和 510 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 500σ = 40x₁ = 422x₂ = 510

P =

14.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 10% 的数据低于它（第 10 百分位数）。

μ = 500σ = 40P = 10%

x = h

15.置信区间中等

一个包含 9 个个体的样本，均值为 107，标准差 s = 16。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的误差范围 E。

n = 9x̄ = 107s = 1690%t(8) = 1.86

E =

16.置信区间困难

16 根机加工轴的直径样本标准差为 0.5 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 15 时，χ² 分布有 2.5% 位于 6.262 以下，2.5% 位于 27.488 以上。

n = 16s = 0.5 µmχ² = 6.262, 27.488

σ = µm

17.假设检验与置信区间中等

100 名学生的样本平均分为 119.1，样本标准差为 5。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 119.1s = 5n = 100

t =

18.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2？标准差为 8。求最小样本量 n。

σ = 8E = 295%

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (5, 19)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(5, 19)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 120000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 6 000/(0.07 − 0.02) = 6 000/0.05 = €120 000.00

答案

PV = €120 000.00

2.货币的时间价值

答案: FV = 45631 €

月利率和存款次数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·14 = 168

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(1.799 − 1)/0.0035 = €45 630.67

答案

FV = €45 630.67

你自己存入了 €33 600；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −22173 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 25 000/1.09 = 22 935.78

CF₂/(1 + 0.09)² = 19 000/1.188 = 15 991.92

CF₃/(1 + 0.09)³ = 18 000/1.295 = 13 899.30

相加

NPV = €−22 173.00

答案

NPV = €−22 173.00

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 6.924 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(5%) = 1 043.08

NPV(10%) = −1 570.25

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 5 + 5·1 043.08/(1 043.08 − (−1 570.25)) = 6.996%

精确: NPV(6.924%) = 0 → IRR = 6.924%

答案

IRR = 6.924%

5.债券定价与收益率

答案: HPR = 0.33 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €20.00, i = 0.09, N = 12

€20.00·(1 − 0.3555)/0.09 + €1 000·0.3555 = €143.21 + €355.53 = €498.75

卖出价

C = €20.00, i = 0.1, N = 11

€20.00·(1 − 0.3505)/0.1 + €1 000·0.3505 = €129.90 + €350.49 = €480.40

持有期收益率

HPR = (20 + 480.40 − 498.75)/498.75 = 0.33%

答案

HPR = 0.33%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 3.004 %

每期

C = €35.00, N = 22

数值求解

i = 1.502% 每半年

YTM

YTM = 2·1.502% = 3.004%

答案

YTM = 3.004%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.965 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 8 000 000 + 1 500 000 + 6 000 000 = €15 500 000

E/V = 0.5161, P_s/V = 0.09677, D/V = 0.3871

WACC

WACC = 0.5161·13% + 0.09677·6.5% + 0.3871·6%·(1 − 0.3) = 8.965%

答案

WACC = 8.965%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.056 %

市场价值

E = 2 500 000·€30.00 = €75 000 000

D = 5 000·€1 000 = €5 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.2·4% = 6.3%

权重

V = €80 000 000, E/V = 0.9375, D/V = 0.0625

WACC

WACC = 0.9375·6.3% + 0.0625·3%·(1 − 0.2) = 6.056%

答案

WACC = 6.056%

9.描述统计

答案: s = 16.71

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 231/6 = 38.5

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−19.5)² + 9.5² + 21.5² + 5.5² + 3.5² + (−20.5)² = 1396

标准差

s = √(1396/5) = 16.71

答案

s = 16.71

10.描述统计

答案: P = 0.6554

标准化

z = 0.4

标准正态分布表

Φ(0.4) = 0.6554

P = 0.6554

答案

P = 0.6554

11.概率

答案: Var(X) = 6.11

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.35 + 2·0.25 + 4·0.1 + 6·0.3 = 2.7

平方的均值

E(X²) = 0·0.35 + 4·0.25 + 16·0.1 + 36·0.3 = 13.4

方差

Var(X) = 13.4 − 2.7² = 6.11

答案

Var(X) = 6.11

12.概率

答案: E(G) = −0.5 €

净结果

G: 5 (p = 0.25), 95 (p = 0.02), −5 (p = 0.73)

期望值

E(G) = 5·0.25 + 95·0.02 − 5·0.73 = −0.5 €

答案

E(G) = −0.5 €

负值表示平均而言你会亏钱。

13.正态分布

答案: P = 0.5731

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (422 − 500)/40 = −1.95

z₂ = (510 − 500)/40 = 0.25

中间面积

P = Φ(0.25) − Φ(−1.95) = 0.5987 − 0.02559 = 0.5731

答案

P = 0.5731

14.正态分布

答案: x = 448.7 h

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

换算回 x

x = 500 + −1.282·40 = 448.74 h

答案

x = 448.74 h

15.置信区间

答案: E = 9.92

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 8, t = 1.86

误差范围

E = 1.86·16/√9 = 9.92

答案

E = 9.92

16.置信区间

答案: σ = 0.3694 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 15·0.5² = 3.75

σ² 的限值

3.75/27.488 = 0.1364

3.75/6.262 = 0.5989

σ 的限值

σ = √0.1364 = 0.3694 µm

答案

σ = 0.3694 µm

σ 的 95% 区间：[0.3694, 0.7739] µm。

17.假设检验与置信区间

答案: t = −1.8

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 5/√100 = 5/10 = 0.5

检验统计量

t = (119.1 − 120)/0.5 = −1.8

答案

t = −1.8

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| < 1.984，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 62

解出 n

n = (1.96·8/2)² = 61.47

向上取整

n = 62

答案

n = 62

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9907

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 161/6 = 26.83

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 233

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 782.8

决定系数

r² = 233²/(70·782.8) = 0.9907

答案

r² = 0.9907

y 的变异中约有 99.07% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: e = 3.5

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 92/5 = 18.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116

回归直线

b = 116/40 = 2.9

a = 18.4 − 2.9·6 = 1

ŷ = 1 + 2.9·x

预测值

ŷ = 1 + 2.9·5 = 15.5

残差

e = 19 − 15.5 = 3.5

答案

e = 3.5

该点位于直线上方。

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