CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 10 年后需要 €40 000。某账户年利率 3.6%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €40 0003.6% / 4n = 10

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的抵押贷款在 30 年内按月等额偿还，年利率 7.2%，按月复利。在第 19 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €200 0007.2% / 12N = 360k = 228

B = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€15 000, €31 000, €18 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

r = 10%CF₀ = −75 000CF₁ = 15 000CF₂ = 31 000CF₃ = 18 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €30 500, €21 000, €24 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 30 500CF₂ = 21 000CF₃ = 24 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 4 年后到期，每年付息。到期收益率为 8% 时其售价为 €967。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 4P = €967YTM = 8%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 18 年的债券（面值 €1 000，年票息 6%）售价 €1 117。发行人可在 3 年后以 €1 060 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%P = €1 117赎回价格 = €1 060赎回时间 3 年

YTC = %

7.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 0.6 的股票要求回报为 7.9%。无风险利率为 4%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 0.6r_e = 7.9%r_f = 4%

r_m = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.4 下的贝塔为 1.3。公司计划把负债权益比提高到 0.75。税率为 25.8%，无风险利率为 1%，市场风险溢价为 7%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1.3D/E₁ = 0.4D/E₂ = 0.75T = 25.8%r_f = 1%r_m − r_f = 7%

r_e = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：42, 27, 20, 29, 26, 46。

n = 6

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 5。数值低于 62 的比例 P 是多少？

μ = 60σ = 5x = 62

P =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.05, 0.25, 0.2, 0.15, 0.35

σ =

12.概率困难

测试 5 个元件，每个独立地以概率 0.4 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 5p = 0.4

P =

13.正态分布中等

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 178 和 192.35 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 178σ = 7x₁ = 178x₂ = 192.35

P =

14.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 80% 的数据低于它（第 80 百分位数）。

μ = 250σ = 5P = 80%

x = g

15.置信区间中等

一个包含 7 个个体的样本，均值为 37，标准差 s = 4。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的下限。

n = 7x̄ = 37s = 495%t(6) = 2.447

下限 =

16.置信区间困难

11 根机加工轴的直径样本标准差为 4.1 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 10 时，χ² 分布有 2.5% 位于 3.247 以下，2.5% 位于 20.483 以上。

n = 11s = 4.1 µmχ² = 3.247, 20.483

σ = µm

17.假设检验与置信区间中等

9 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 7.12，差值的标准差为 8.9。求 H₀: μ_d = 0 的配对检验统计量 t。

n = 9d̄ = 7.12s_d = 8.9

t =

18.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 1.5？标准差为 10。求最小样本量 n。

σ = 10E = 1.599%

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 23.5 时的 ŷ。

n = 5x = 23.5

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 27952 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.036000000000000004/4 = 0.009

N = 4·10 = 40

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1.431 = €27 952.03

答案

PV = €27 952.03

2.货币的时间价值

答案: B = 123537 €

月供

i = 0.006, N = 360

A = 200 000·0.006/(1 − (1 + 0.006)⁻³⁶⁰) = €1 357.58

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 360 − 228 = 132

B = 1358·(1 − (1 + 0.006)⁻¹³²)/0.006 = €123 536.93

答案

B = €123 536.93

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −22220 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 15 000/1.1 = 13 636.36

CF₂/(1 + 0.1)² = 31 000/1.21 = 25 619.83

CF₃/(1 + 0.1)³ = 18 000/1.331 = 13 523.67

相加

NPV = €−22 220.14

答案

NPV = €−22 220.14

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 25.54 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(25%) = 384.00

NPV(30%) = −2 960.86

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 25 + 5·384.00/(384.00 − (−2 960.86)) = 25.57%

精确: NPV(25.54%) = 0 → IRR = 25.54%

答案

IRR = 25.54%

5.债券定价与收益率

答案: c = 7.004 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.08)⁻⁴ = €735.03

票息

C = (967 − 735.03)/3.312 = €70.04

票面利率

c = 70.04/1000 = 7.004%

答案

c = 7.004%

6.债券定价与收益率

答案: YTC = 3.732 %

收益率方程

1117 = 60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1060/(1 + y)³

数值求解

y = 3%: €1 139.77

y = 4%: €1 108.84

YTC = 3.732%

答案

YTC = 3.732%

到期收益率为 4.999%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

7.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 10.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (7.9% − 4%)/0.6 = 6.5%

市场回报

r_m = 4% + 6.5% = 10.5%

答案

r_m = 10.5%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 11.92 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1.3/(1 + 0.742·0.4) = 1.002

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 1.002·(1 + 0.742·0.75) = 1.56

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 1.56·7% = 11.92%

答案

r_e = 11.92%

9.描述统计

答案: s = 10.09

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 190/6 = 31.67

离差平方

Σ(x − x̄)² = 10.33² + (−4.667)² + (−11.67)² + (−2.667)² + (−5.667)² + 14.33² = 509.3

标准差

s = √(509.3/5) = 10.09

答案

s = 10.09

10.描述统计

答案: P = 0.6554

标准化

z = 0.4

标准正态分布表

Φ(0.4) = 0.6554

P = 0.6554

答案

P = 0.6554

11.概率

答案: σ = 1.323

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.05 + 2·0.25 + 3·0.2 + 4·0.15 + 5·0.35 = 3.5

平方的均值

E(X²) = 1·0.05 + 4·0.25 + 9·0.2 + 16·0.15 + 25·0.35 = 14

方差

Var(X) = 14 − 3.5² = 1.75

σ = √1.75 = 1.323

答案

σ = 1.323

12.概率

答案: P = 0.337

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.6⁵ = 0.07776

P(X = 1) = 5·0.4·0.6⁴ = 0.2592

相加

P = 0.07776 + 0.2592 = 0.337

答案

P = 0.337

13.正态分布

答案: P = 0.4798

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (178 − 178)/7 = 0

z₂ = (192.35 − 178)/7 = 2.05

中间面积

P = Φ(2.05) − Φ(0) = 0.9798 − 0.5 = 0.4798

答案

P = 0.4798

14.正态分布

答案: x = 254.2 g

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

换算回 x

x = 250 + 0.8416·5 = 254.21 g

答案

x = 254.21 g

15.置信区间

答案: 下限 = 33.3

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 6, t = 2.447

误差范围

E = 2.447·4/√7 = 3.7

区间

37 ± 3.7 → [33.3, 40.7]

答案

下限 = 33.3

16.置信区间

答案: σ = 2.865 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 10·4.1² = 168.1

σ² 的限值

168.1/20.483 = 8.207

168.1/3.247 = 51.77

σ 的限值

σ = √8.207 = 2.865 µm

答案

σ = 2.865 µm

σ 的 95% 区间：[2.865, 7.195] µm。

17.假设检验与置信区间

答案: t = 2.4

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

平均差值的标准误

SE = 8.9/√9 = 2.967

检验统计量

t = 7.12/2.967 = 2.4

答案

t = 2.4

df = 8 时，双侧 5% 的临界值为 2.306；|t| 更大，所以拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 295

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

解出 n

n = (2.576·10/1.5)² = 294.9

向上取整

n = 295

答案

n = 295

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9317

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 313/5 = 62.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 144

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 597.2

答案

r = 0.9317

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 95.4

均值

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 442/5 = 88.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 420

回归直线

b = 420/90 = 4.667

a = 88.4 − 4.667·22 = −14.27

ŷ = −14.27 + 4.667·x

预测

ŷ = −14.27 + 4.667·23.5 = 95.4

答案

ŷ = 95.4

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