CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 2% 投资 €5 000，按季度复利。求 3 年后的投资价值 FV。

PV = €5 0002% / 4n = 3

FV = €

2.货币的时间价值困难

你以每年 6% 的利率借入 €8 000，按月复利，每月月末偿还 €375。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €8 000A = €3756% / 12

N = 次还款

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €40 000。它在 7 年内每年年末产生 €5 500，之后可以以 €8 000 出售。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €40 000CF = €5 500S = €8 000n = 7r = 12%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €20 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €7 000, €8 000, €11 500, €8 000。现金流可按 6% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 8 000CF₃ = 11 500CF₄ = 8 000

MIRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，9 年后到期。到期收益率为每年 5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 5%n = 9

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 10 年后到期，售价为 €810。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 10P = €810

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €6 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 12%，税前债务成本为 5%，税率为 25%。求 WACC。

E = €6 000 000D = €2 000 000r_e = 12%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €55.00 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 3%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 0.8r_f = 3%r_m = 8.5%r_d = 5%T = 25.8%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：54, 59, 37, 14, 34, 60, 52。

n = 7

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 15。数值高于 188.8 的比例 P 是多少？

μ = 170σ = 15x = 188.8

P =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.15, 0.35, 0.35, 0.15

σ =

12.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 10X + 5。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.3, 0.35, 0.1Y = 10X + 5

σ_Y =

13.正态分布中等

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 22.7 和 41 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 32σ = 6x₁ = 22.7x₂ = 41

P =

14.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 97.5% 的数据低于它（第 97.5 百分位数）。

μ = 250σ = 5P = 97.5%

x = g

15.置信区间中等

一个包含 10 个个体的样本，均值为 26.5，标准差 s = 7。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的上限。

n = 10x̄ = 26.5s = 790%t(9) = 1.833

上限 =

16.置信区间困难

总体标准差为 19。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.5？

σ = 19E = 0.590%

n =

17.假设检验与置信区间中等

81 名学生的样本平均分为 122.3，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 122.3s = 12n = 81

t =

18.假设检验与置信区间困难

81 次测量的样本均值为 77。总体标准差为 8。求均值 90% 置信区间的下限 L。

x̄ = 77σ = 8n = 8190%

L =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (7, 21)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(7, 21)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 5308 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.02/4 = 0.005

N = m·n = 4·3 = 12

终值

FV = 5 000·(1 + 0.005)¹² = 5 000·1.062 = €5 308.39

答案

FV = €5 308.39

2.货币的时间价值

答案: N = 23 次还款

将年金公式变形

i = 0.005

(1 + i)^−N = 1 − 8 000·0.005/375 = 0.8933

用对数求解

N = −ln(0.8933)/ln(1.005) = 22.62

向上取整到整次还款

22 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 23

答案

N = 23 次还款

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −11281 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

5 500·4.564 = 25 100.66

残值的现值

8 000/2.211 = 3 618.79

NPV

NPV = −40 000 + 25 100.66 + 3 618.79 = −€11 280.55

答案

NPV = −€11 280.55

4.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 17.03 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

7 000·1.06³ = 8 337.11

8 000·1.06² = 8 988.80

11 500·1.06¹ = 12 190.00

8 000·1.06⁰ = 8 000.00

TV = 37 515.91

MIRR

MIRR = (37 515.91/20 000)^1/4 − 1 = 17.03%

答案

MIRR = 17.03%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1144 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.025, N = 18

票息的现值

€35.00·(1 − 0.6412)/0.025 = €502.37

面值的现值

€1 000·0.6412 = €641.17

价格

P = €1 143.53

答案

P = €1 143.53

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.524 %

收益率方程

€810 = €30·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

数值求解

P(5%) = €845.57, P(6%) = €779.20

YTM = 5.524%

答案

YTM = 5.524%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.938 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €8 000 000, E/V = 0.75, D/V = 0.25

WACC

WACC = 0.75·12% + 0.25·5%·(1 − 0.25) = 9.938%

答案

WACC = 9.938%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.828 %

市场价值

E = 1 000 000·€55.00 = €55 000 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 0.8·5.5% = 7.4%

权重

V = €95 800 000, E/V = 0.5741, D/V = 0.4259

WACC

WACC = 0.5741·7.4% + 0.4259·5%·(1 − 0.258) = 5.828%

答案

WACC = 5.828%

9.描述统计

答案: s = 16.8

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 310/7 = 44.29

离差平方

Σ(x − x̄)² = 9.714² + 14.71² + (−7.286)² + (−30.29)² + (−10.29)² + 15.71² + 7.714² = 1693

标准差

s = √(1693/6) = 16.8

答案

s = 16.8

10.描述统计

答案: P = 0.1056

标准化

z = 1.25

标准正态分布表

Φ(1.25) = 0.8944

P = 1 − 0.8944 = 0.1056

答案

P = 0.1056

11.概率

答案: σ = 9.22

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 10·0.15 + 20·0.35 + 30·0.35 + 40·0.15 = 25

平方的均值

E(X²) = 100·0.15 + 400·0.35 + 900·0.35 + 1600·0.15 = 710

方差

Var(X) = 710 − 25² = 85

σ = √85 = 9.22

答案

σ = 9.22

12.概率

答案: σ_Y = 95.39

X 的离散程度

μ = 23, Var(X) = 91, σ_X = 9.539

线性变换

σ_Y = |10|·9.539 = 95.39

答案

σ_Y = 95.39

均值确实会改变：E(Y) = 10·23 + 5 = 235。

13.正态分布

答案: P = 0.8726

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (22.7 − 32)/6 = −1.55

z₂ = (41 − 32)/6 = 1.5

中间面积

P = Φ(1.5) − Φ(−1.55) = 0.9332 − 0.06057 = 0.8726

答案

P = 0.8726

14.正态分布

答案: x = 259.8 g

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

换算回 x

x = 250 + 1.96·5 = 259.8 g

答案

x = 259.8 g

15.置信区间

答案: 上限 = 30.56

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 9, t = 1.833

误差范围

E = 1.833·7/√10 = 4.058

区间

26.5 ± 4.058 → [22.44, 30.56]

答案

上限 = 30.56

16.置信区间

答案: n = 3908

解出 n

n = (1.645·19/0.5)² = 3908

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 3908

答案

n = 3908

17.假设检验与置信区间

答案: t = 1.725

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 12/√81 = 12/9 = 1.333

检验统计量

t = (122.3 − 120)/1.333 = 1.725

答案

t = 1.725

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: L = 75.54

误差范围

E = 1.645·8/√81 = 1.462

区间端点

L = 77 − 1.462 = 75.54

答案

L = 75.54

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9142

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 75/5 = 15

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 70

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 134

决定系数

r² = 70²/(40·134) = 0.9142

答案

r² = 0.9142

y 的变异中约有 91.42% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: e = 5.15

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 67/5 = 13.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98

回归直线

b = 98/40 = 2.45

a = 13.4 − 2.45·6 = −1.3

ŷ = −1.3 + 2.45·x

预测值

ŷ = −1.3 + 2.45·7 = 15.85

残差

e = 21 − 15.85 = 5.15

答案

e = 5.15

该点位于直线上方。

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