CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 8% 的利率连续复利投资 €5 000。求 12 年后的价值 FV。

PV = €5 000r = 8%t = 12

FV = €

2.货币的时间价值困难

你希望在 18 年后得到 €100 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 7.2%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €100 0007.2% / 12N = 216

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€9 000, €7 000, €5 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 7 000CF₃ = 5 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €26 000, €25 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 26 000CF₂ = 25 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 8%，每半年付息一次，9 年后到期。到期收益率为每年 3.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 8%YTM = 3.5%n = 9

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 17 年的债券（面值 €1 000，年票息 9%）售价 €1 195。发行人可在 6 年后以 €1 090 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 9%P = €1 195赎回价格 = €1 090赎回时间 6 年

YTC = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €4 000 000 的普通股、价值 €1 500 000 的优先股和价值 €2 000 000 的债务构成。股权资本成本为 9%，优先股成本为 7%，税前债务成本为 5%。税率为 28%。求 WACC。

E = €4 000 000P_s = €1 500 000D = €2 000 000r_e = 9%r_p = 7%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 2 000 000 股股票，股价为 €51.50；其股权账面价值为 €61 800 000。公司刚支付了每股 €1.80 的股利，股利每年增长 4%。其债务市场价值为 €82 400 000，税前成本为 5%。税率为 25.8%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 2 000 000P₀ = €51.50股权账面价值 = €61 800 000D₀ = €1.80g = 4%D = €82 400 000r_d = 5%T = 25.8%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：39, 55, 52, 39, 50。

n = 5

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 10。数值低于 165 的比例 P 是多少？

μ = 170σ = 10x = 165

P =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.25, 0.3, 0.2

Var(X) =

12.概率困难

测试 12 个元件，每个独立地以概率 0.3 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 12p = 0.3

P =

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.9868。求 z，保留两位小数。

A = 0.9868

z =

14.正态分布困难

运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

15.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：80 部手机，均值 48.5 h，已知标准差 8 h。型号 2：80 部手机，均值 50 h，已知标准差 15 h。求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的下限。

n₁ = 80x̄₁ = 48.5 hσ₁ = 8 hn₂ = 80x̄₂ = 50 hσ₂ = 15 h99%

下限 = h

16.置信区间困难

总体标准差为 10。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 4？

σ = 10E = 499%

n =

17.假设检验与置信区间中等

36 名学生的样本平均分为 497.2，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。

μ₀ = 500x̄ = 497.2s = 12n = 36

t =

18.假设检验与置信区间困难

25 次测量的样本均值为 114。总体标准差为 10。求均值 95% 置信区间的下限 L。

x̄ = 114σ = 10n = 2595%

L =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 18.5 时的 ŷ。

n = 5x = 18.5

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 13058 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.08·12 = 0.96

e^0.96 = 2.612

终值

FV = 5 000·2.612 = €13 058.48

答案

FV = €13 058.48

2.货币的时间价值

答案: A = 227.2 €

月利率和存款次数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·18 = 216

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 100 000·0.006/(3.641 − 1) = €227.23

答案

A = €227.23

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −2825 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 9 000/1.12 = 8 035.71

CF₂/(1 + 0.12)² = 7 000/1.254 = 5 580.36

CF₃/(1 + 0.12)³ = 5 000/1.405 = 3 558.90

相加

NPV = €−2 825.03

答案

NPV = €−2 825.03

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 17.98 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(15%) = 1 512.29

NPV(20%) = −972.22

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 15 + 5·1 512.29/(1 512.29 − (−972.22)) = 18.04%

精确: NPV(17.98%) = 0 → IRR = 17.98%

答案

IRR = 17.98%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1345 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €40.00, i = 0.0175, N = 18

票息的现值

€40.00·(1 − 0.7318)/0.0175 = €613.07

面值的现值

€1 000·0.7318 = €731.78

价格

P = €1 344.85

答案

P = €1 344.85

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTC = 6.281 %

收益率方程

1195 = 90·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1090/(1 + y)⁶

数值求解

y = 6%: €1 210.97

y = 7%: €1 155.30

YTC = 6.281%

答案

YTC = 6.281%

到期收益率为 7.002%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.16 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 4 000 000 + 1 500 000 + 2 000 000 = €7 500 000

E/V = 0.5333, P_s/V = 0.2, D/V = 0.2667

WACC

WACC = 0.5333·9% + 0.2·7% + 0.2667·5%·(1 − 0.28) = 7.16%

答案

WACC = 7.16%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.891 %

股权成本

D₁ = 1.8·1.04 = €1.87

r_e = 1.872/51.5 + 0.04 = 7.635%

市场价值

E = 2 000 000·€51.50 = €103 000 000

V = €185 400 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444

WACC

WACC = 0.5556·7.635% + 0.4444·5%·(1 − 0.258) = 5.891%

答案

WACC = 5.891%

9.描述统计

答案: s = 7.517

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 235/5 = 47

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−8)² + 8² + 5² + (−8)² + 3² = 226

标准差

s = √(226/4) = 7.517

答案

s = 7.517

10.描述统计

答案: P = 0.3085

标准化

z = −0.5

标准正态分布表

Φ(−0.5) = 0.3085

P = 0.3085

答案

P = 0.3085

11.概率

答案: Var(X) = 1.147

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.25 + 1·0.25 + 2·0.3 + 3·0.2 = 1.45

平方的均值

E(X²) = 0·0.25 + 1·0.25 + 4·0.3 + 9·0.2 = 3.25

方差

Var(X) = 3.25 − 1.45² = 1.147

答案

Var(X) = 1.147

12.概率

答案: P = 0.08503

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.7¹² = 0.01384

P(X = 1) = 12·0.3·0.7¹¹ = 0.07118

相加

P = 0.01384 + 0.07118 = 0.08503

答案

P = 0.08503

13.正态分布

答案: z = −2.22

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.9868 = 0.0132

反向查 z 表

在表中找到 0.0132，读出 z。

z = −2.22

答案

z = −2.22

14.正态分布

答案: P = 0.7881

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

标准化

z = (0 − 4)/5 = −0.8

概率

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

答案

P = 0.7881

15.置信区间

答案: 下限 = −6.396 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 48.5 − 50 = −1.5

标准误

SE = √(8²/80 + 15²/80) = 1.901

误差范围

E = 2.576·1.901 = 4.896

区间

−1.5 ± 4.896 → [−6.396, 3.396]

答案

下限 = −6.396 h

区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。

16.置信区间

答案: n = 42

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (2.576·10/4)² = 41.47

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 42

答案

n = 42

17.假设检验与置信区间

答案: t = −1.4

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

检验统计量

t = (497.2 − 500)/2 = −1.4

答案

t = −1.4

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| < 2.03，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: L = 110.1

误差范围

E = 1.96·10/√25 = 3.92

区间端点

L = 114 − 3.92 = 110.1

答案

L = 110.1

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9955

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 324/5 = 64.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 252

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1595

决定系数

r² = 252²/(40·1595) = 0.9955

答案

r² = 0.9955

y 的变异中约有 99.55% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 62.95

均值

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 343/5 = 68.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 339

回归直线

b = 339/90 = 3.767

a = 68.6 − 3.767·20 = −6.733

ŷ = −6.733 + 3.767·x

预测

ŷ = −6.733 + 3.767·18.5 = 62.95

答案

ŷ = 62.95

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