CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 7% 的利率连续复利投资 €20 000。求 4 年后的价值 FV。

PV = €20 000r = 7%t = 4

FV = €

2.货币的时间价值困难

你以每年 5.4% 的利率借入 €8 000，按月复利，每月月末偿还 €200。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €8 000A = €2005.4% / 12

N = 次还款

3.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€8 000, €4 000, €7 000, €7 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

r = 9%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 4 000CF₃ = 7 000CF₄ = 7 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €13 500, €10 000, €14 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 500CF₂ = 10 000CF₃ = 14 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 5% 的票息，8 年后到期。其到期收益率从 2.5% 变为 1.5%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 5%n = 8y₁ = 2.5%y₂ = 1.5%

ΔP = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 8 年后到期，售价为 €1 060。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 8P = €1 060

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €4 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 14%，税前债务成本为 6%，税率为 25.8%。求 WACC。

E = €4 000 000D = €2 000 000r_e = 14%r_d = 6%T = 25.8%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 2 000 000 股股票，股价为 €17.50；其股权账面价值为 €14 000 000。公司刚支付了每股 €2.10 的股利，股利每年增长 3%。其债务市场价值为 €21 000 000，税前成本为 3%。税率为 25.8%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 2 000 000P₀ = €17.50股权账面价值 = €14 000 000D₀ = €2.10g = 3%D = €21 000 000r_d = 3%T = 25.8%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：42, 56, 17, 55, 41, 54。

n = 6

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 75。数值低于 350 的比例 P 是多少？

μ = 500σ = 75x = 350

P =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.3, 0.3, 0.15

Var(X) =

12.概率困难

测试 5 个元件，每个独立地以概率 0.3 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 5p = 0.3

P =

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.3050。求 z，保留两位小数。

A = 0.3050

z =

14.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 80% 的数据低于它（第 80 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 80%

x = 分

15.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：100 部手机，均值 43.5 h，已知标准差 12 h。型号 2：30 部手机，均值 46.5 h，已知标准差 5 h。求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的上限。

n₁ = 100x̄₁ = 43.5 hσ₁ = 12 hn₂ = 30x̄₂ = 46.5 hσ₂ = 5 h99%

上限 = h

16.置信区间困难

总体标准差为 28。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2？

σ = 28E = 299%

n =

17.假设检验与置信区间中等

64 名学生的样本平均分为 121.7，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 121.7s = 8n = 64

t =

18.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 3？标准差为 15。求最小样本量 n。

σ = 15E = 390%

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (7, 29)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(7, 29)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 26463 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.07·4 = 0.28

e^0.28 = 1.323

终值

FV = 20 000·1.323 = €26 462.60

答案

FV = €26 462.60

2.货币的时间价值

答案: N = 45 次还款

将年金公式变形

i = 0.0045

(1 + i)^−N = 1 − 8 000·0.0045/200 = 0.82

用对数求解

N = −ln(0.82)/ln(1.004) = 44.2

向上取整到整次还款

44 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 45

答案

N = 45 次还款

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 1070 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 8 000/1.09 = 7 339.45

CF₂/(1 + 0.09)² = 4 000/1.188 = 3 366.72

CF₃/(1 + 0.09)³ = 7 000/1.295 = 5 405.28

CF₄/(1 + 0.09)⁴ = 7 000/1.412 = 4 958.98

相加

NPV = €1 070.43

答案

NPV = €1 070.43

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 40.11 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(40%) = 29.15

NPV(45%) = −1 177.17

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 40 + 5·29.15/(29.15 − (−1 177.17)) = 40.12%

精确: NPV(40.11%) = 0 → IRR = 40.11%

答案

IRR = 40.11%

5.债券定价与收益率

答案: ΔP = 82.75 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €50.00, i = 0.025, N = 8

€50.00·(1 − 0.8207)/0.025 + €1 000·0.8207 = €358.51 + €820.75 = €1 179.25

按新收益率计算的价格

C = €50.00, i = 0.015, N = 8

€50.00·(1 − 0.8877)/0.015 + €1 000·0.8877 = €374.30 + €887.71 = €1 262.01

变化

ΔP = 1 262.01 − 1 179.25 = €82.75

答案

ΔP = €82.75

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.033 %

收益率方程

€1 060 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

数值求解

P(6%) = €1 062.10, P(7%) = €1 000.00

YTM = 6.033%

答案

YTM = 6.033%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.82 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €6 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·14% + 0.3333·6%·(1 − 0.258) = 10.82%

答案

WACC = 10.82%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.43 %

股权成本

D₁ = 2.1·1.03 = €2.16

r_e = 2.163/17.5 + 0.03 = 15.36%

市场价值

E = 2 000 000·€17.50 = €35 000 000

V = €56 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375

WACC

WACC = 0.625·15.36% + 0.375·3%·(1 − 0.258) = 10.43%

答案

WACC = 10.43%

9.描述统计

答案: s = 14.88

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 265/6 = 44.17

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−2.167)² + 11.83² + (−27.17)² + 10.83² + (−3.167)² + 9.833² = 1107

标准差

s = √(1107/5) = 14.88

答案

s = 14.88

10.描述统计

答案: P = 0.02275

标准化

z = −2

标准正态分布表

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

答案

P = 0.02275

11.概率

答案: Var(X) = 1.027

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.25 + 2·0.3 + 3·0.3 + 4·0.15 = 2.35

平方的均值

E(X²) = 1·0.25 + 4·0.3 + 9·0.3 + 16·0.15 = 6.55

方差

Var(X) = 6.55 − 2.35² = 1.027

答案

Var(X) = 1.027

12.概率

答案: P = 0.5282

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.7⁵ = 0.1681

P(X = 1) = 5·0.3·0.7⁴ = 0.3601

相加

P = 0.1681 + 0.3601 = 0.5282

答案

P = 0.5282

13.正态分布

答案: z = 0.51

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.3050 = 0.6950

反向查 z 表

在表中找到 0.6950，读出 z。

z = 0.51

答案

z = 0.51

14.正态分布

答案: x = 112.6 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

换算回 x

x = 100 + 0.8416·15 = 112.62 分

答案

x = 112.62 分

15.置信区间

答案: 上限 = 0.884 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 43.5 − 46.5 = −3

标准误

SE = √(12²/100 + 5²/30) = 1.508

误差范围

E = 2.576·1.508 = 3.884

区间

−3 ± 3.884 → [−6.884, 0.884]

答案

上限 = 0.884 h

区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。

16.置信区间

答案: n = 1301

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (2.576·28/2)² = 1301

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 1301

答案

n = 1301

17.假设检验与置信区间

答案: t = 1.7

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

检验统计量

t = (121.7 − 120)/1 = 1.7

答案

t = 1.7

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| < 1.998，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 68

解出 n

n = (1.645·15/3)² = 67.65

向上取整

n = 68

答案

n = 68

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9124

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 328/6 = 54.67

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 77

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 371.3

决定系数

r² = 77²/(17.5·371.3) = 0.9124

答案

r² = 0.9124

y 的变异中约有 91.24% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: e = −2.45

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 138/5 = 27.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 154

回归直线

b = 154/40 = 3.85

a = 27.6 − 3.85·6 = 4.5

ŷ = 4.5 + 3.85·x

预测值

ŷ = 4.5 + 3.85·7 = 31.45

残差

e = 29 − 31.45 = −2.45

答案

e = −2.45

该点位于直线下方。

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