CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 2% 投资 €5 000，按月复利。求 9 年后的投资价值 FV。

PV = €5 0002% / 12n = 9

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €150 000 的抵押贷款在 30 年内按月等额偿还，年利率 3%，按月复利。在第 23 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €150 0003% / 12N = 360k = 276

B = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€8 000, €7 000, €9 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 7 000CF₃ = 9 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €30 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €17 500, €12 000, €7 000。项目 B 需投入 €35 000，回报为 €9 500, €14 000, €19 000。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −30 000, 17 500, 12 000, 7 000B: −35 000, 9 500, 14 000, 19 000

r* = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 15 年后到期，每年付息。到期收益率为 8% 时其售价为 €572。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 15P = €572YTM = 8%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 6 年后到期，售价为 €1 085。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 6P = €1 085

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 1.5。其股权资本成本为 13%，税前债务成本为 3%，税率为 25%。求 WACC。

D/E = 1.5r_e = 13%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €8 000 000，股权资本成本为 14%。其债务由 8 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 5%，剩余期限 8 年），每张交易价格为 €909。税率为 30%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €8 000 000r_e = 14%债券: 8 000 × €909票面利率 = 5%n = 8T = 30%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：46, 32, 11, 12, 36。

n = 5

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 100。数值高于 700 的比例 P 是多少？

μ = 500σ = 100x = 700

P =

11.概率中等

袋中有 5 个红球和 8 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

5 / 8

P =

12.概率困难

一份测试有 12 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.25，相互独立。恰好答对 1 题的概率 P 是多少？

n = 12p = 0.25k = 1

P =

13.正态分布中等

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 30.5 和 39.5 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 32σ = 6x₁ = 30.5x₂ = 39.5

P =

14.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的前 75% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 500 hσ = 40 h75%

x = h

15.置信区间中等

一个包含 6 个个体的样本，均值为 24，标准差 s = 19.5。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。

n = 6x̄ = 24s = 19.599%t(5) = 4.032

E =

16.置信区间困难

总体标准差为 28。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 5？

σ = 28E = 599%

n =

17.假设检验与置信区间中等

11 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 8.9，差值的标准差为 8.2。求 H₀: μ_d = 0 的配对检验统计量 t。

n = 11d̄ = 8.9s_d = 8.2

t =

18.假设检验与置信区间困难

25 次测量的样本均值为 199.8。总体标准差为 5。求均值 95% 置信区间的上限 U。

x̄ = 199.8σ = 5n = 2595%

U =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求皮尔逊相关系数 r。

n = 6

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 4 时的 ŷ。

n = 5x = 4

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 5985 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.02/12 = 0.001667

N = m·n = 12·9 = 108

终值

FV = 5 000·(1 + 0.001667)¹⁰⁸ = 5 000·1.197 = €5 985.19

答案

FV = €5 985.19

2.货币的时间价值

答案: B = 47861 €

月供

i = 0.0025, N = 360

A = 150 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)⁻³⁶⁰) = €632.41

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 360 − 276 = 84

B = 632.4·(1 − (1 + 0.0025)⁻⁸⁴)/0.0025 = €47 861.33

答案

B = €47 861.33

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 1743 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.05)¹ = 8 000/1.05 = 7 619.05

CF₂/(1 + 0.05)² = 7 000/1.103 = 6 349.21

CF₃/(1 + 0.05)³ = 9 000/1.158 = 7 774.54

相加

NPV = €1 742.79

答案

NPV = €1 742.79

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: r* = 3.358 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −35 000 − (−30 000) = −5 000

ΔCF₁ = 9 500 − 17 500 = −8 000

ΔCF₂ = 14 000 − 12 000 = 2 000

ΔCF₃ = 19 000 − 7 000 = 12 000

差额的 IRR

NPV_Δ(3%) = 99.90

NPV_Δ(4%) = −175.24

r* = 3.358%

答案

r* = 3.358%

校核：在 3.358% 时两个 NPV 都是 €4 503.93。

5.债券定价与收益率

答案: c = 3 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.08)⁻¹⁵ = €315.24

票息

C = (572 − 315.24)/8.559 = €30.00

票面利率

c = 30/1000 = 3%

答案

c = 3%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 1.508 %

收益率方程

€1 085 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

数值求解

P(1%) = €1 115.91, P(2%) = €1 056.01

YTM = 1.508%

答案

YTM = 1.508%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.55 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 1.5) = 0.4

D/V = 1.5/(1 + 1.5) = 0.6

WACC

WACC = 0.4·13% + 0.6·3%·(1 − 0.25) = 6.55%

答案

WACC = 6.55%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.498 %

债务成本 (YTM)

909 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + 1000/(1 + y)⁸

y = 6.494%

市场价值

D = 8 000·€909 = €7 272 000

V = €15 272 000, E/V = 0.5238, D/V = 0.4762

WACC

WACC = 0.5238·14% + 0.4762·6.494%·(1 − 0.3) = 9.498%

答案

WACC = 9.498%

9.描述统计

答案: s = 15.39

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 137/5 = 27.4

离差平方

Σ(x − x̄)² = 18.6² + 4.6² + (−16.4)² + (−15.4)² + 8.6² = 947.2

标准差

s = √(947.2/4) = 15.39

答案

s = 15.39

10.描述统计

答案: P = 0.02275

标准化

z = 2

标准正态分布表

Φ(2) = 0.9772

P = 1 − 0.9772 = 0.02275

答案

P = 0.02275

11.概率

答案: P = 0.1282

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 5/13 · 4/12 = 20/156 = 0.1282

答案

P = 0.1282

12.概率

答案: P = 0.1267

二项分布公式

P(X = 1) = 12·0.25¹·0.75¹¹ = 12·0.25·0.04224 = 0.1267

答案

P = 0.1267

13.正态分布

答案: P = 0.4931

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (30.5 − 32)/6 = −0.25

z₂ = (39.5 − 32)/6 = 1.25

中间面积

P = Φ(1.25) − Φ(−0.25) = 0.8944 − 0.4013 = 0.4931

答案

P = 0.4931

14.正态分布

答案: x = 473 h

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.25

由表得到的 z

z ≈ −0.67

回到原来的单位

x = 500 − 0.67·40 = 473 h

答案

x = 473 h

15.置信区间

答案: E = 32.1

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 5, t = 4.032

误差范围

E = 4.032·19.5/√6 = 32.1

答案

E = 32.1

16.置信区间

答案: n = 209

解出 n

n = (2.576·28/5)² = 208.1

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 209

答案

n = 209

17.假设检验与置信区间

答案: t = 3.6

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

平均差值的标准误

SE = 8.2/√11 = 2.472

检验统计量

t = 8.9/2.472 = 3.6

答案

t = 3.6

df = 10 时，双侧 5% 的临界值为 2.228；|t| 更大，所以拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: U = 201.8

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 1.96·5/√25 = 1.96

区间端点

U = 199.8 + 1.96 = 201.8

答案

U = 201.8

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9889

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 769/6 = 128.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 425

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2639

答案

r = 0.9889

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 43.6

均值

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 238/5 = 47.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160

回归直线

b = 160/40 = 4

a = 47.6 − 4·5 = 27.6

ŷ = 27.6 + 4·x

预测

ŷ = 27.6 + 4·4 = 43.6

答案

ŷ = 43.6

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