CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €5 000 的净租金。租金预计每年永久增长 4%。要求回报率为每年 6%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €5 000g = 4%r = 6%

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €300 000 的抵押贷款在 20 年内按月等额偿还，年利率 7.2%，按月复利。在第 2 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €300 0007.2% / 12N = 240k = 24

B = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€28 000, €21 000, €32 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。

r = 5%CF₀ = −75 000CF₁ = 28 000CF₂ = 21 000CF₃ = 32 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €50 000。其现金流在第 1 年年末为 €6 000，之后每年增长 3%，直到第 9 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €50 000CF₁ = €6 000g = 3%n = 9r = 8%

NPV = €

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 14 年后到期，每年付息。到期收益率为 3.5% 时其售价为 €1 164。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 14P = €1 164YTM = 3.5%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €980，到期收益率为 6%（按年复利），麦考利久期为 11.6 年。如果收益率上升 75 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €980y = 6%D = 11.6Δy = +75 bp

P = €

7.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 1.2 的股票要求回报为 9.4%。无风险利率为 4%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 1.2r_e = 9.4%r_f = 4%

r_m = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €21.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 30%。股票的 β 系数为 0.9，无风险利率为 1.5%，市场回报率为 7.5%。求 WACC。

β = 0.9r_f = 1.5%r_m = 7.5%r_d = 5%T = 30%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：55, 50, 40, 24, 57, 37, 12。

n = 7

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 8。数值高于 42 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 8x = 42

P =

11.概率中等

一颗均匀骰子掷 7 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 7

P =

12.概率困难

一份测试有 9 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.5，相互独立。恰好答对 5 题的概率 P 是多少？

n = 9p = 0.5k = 5

P =

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9715。求 z，保留两位小数。

A = 0.9715

z =

14.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 95% 的数据低于它（第 95 百分位数）。

μ = 65σ = 10P = 95%

x = 分

15.置信区间中等

一个包含 13 个个体的样本，均值为 30.5，标准差 s = 9.5。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的误差范围 E。

n = 13x̄ = 30.5s = 9.590%t(12) = 1.782

E =

16.置信区间困难

总体标准差为 25。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 3？

σ = 25E = 390%

n =

17.假设检验与置信区间中等

36 名学生的样本平均分为 505.8，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。

μ₀ = 500x̄ = 505.8s = 12n = 36

t =

18.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 100 名患者中有 20 人康复，接受治疗 B 的 250 名患者中有 20 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 20n₁ = 100x₂ = 20n₂ = 250

z =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 15Σy = 100Σx² = 55Σy² = 2086Σxy = 271

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 60？

n = 5ŷ = 60

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 250000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 5 000/(0.06 − 0.04) = 5 000/0.02 = €250 000.00

答案

PV = €250 000.00

2.货币的时间价值

答案: B = 285538 €

月供

i = 0.006, N = 240

A = 300 000·0.006/(1 − (1 + 0.006)⁻²⁴⁰) = €2 362.05

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 240 − 24 = 216

B = 2362·(1 − (1 + 0.006)⁻²¹⁶)/0.006 = €285 537.82

答案

B = €285 537.82

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −1643 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.05)¹ = 28 000/1.05 = 26 666.67

CF₂/(1 + 0.05)² = 21 000/1.103 = 19 047.62

CF₃/(1 + 0.05)³ = 32 000/1.158 = 27 642.80

相加

NPV = €−1 642.91

答案

NPV = €−1 642.91

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: NPV = −8325 €

增长型年金的现值

((1.03)/(1.08))⁹ = 0.6527

PV = 6 000/(0.08 − 0.03)·(1 − 0.6527) = 41 674.63

NPV

NPV = 41 674.63 − 50 000 = −€8 325.37

答案

NPV = −€8 325.37

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

5.债券定价与收益率

答案: c = 5.002 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.035)⁻¹⁴ = €617.78

票息

C = (1164 − 617.78)/10.92 = €50.02

票面利率

c = 50.02/1000 = 5.002%

答案

c = 5.002%

6.债券定价与收益率

答案: P = 899.6 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 11.6/1.06 = 10.94

估计的价格变化

%ΔP ≈ −10.94·(0.0075) = −8.208%

P ≈ 980·(1 − 0.08208) = €899.57

答案

P = €899.57

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

7.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 8.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (9.4% − 4%)/1.2 = 4.5%

市场回报

r_m = 4% + 4.5% = 8.5%

答案

r_m = 8.5%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.257 %

市场价值

E = 4 000 000·€21.00 = €84 000 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 0.9·6% = 6.9%

权重

V = €103 600 000, E/V = 0.8108, D/V = 0.1892

WACC

WACC = 0.8108·6.9% + 0.1892·5%·(1 − 0.3) = 6.257%

答案

WACC = 6.257%

9.描述统计

答案: s = 16.63

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 275/7 = 39.29

离差平方

Σ(x − x̄)² = 15.71² + 10.71² + 0.7143² + (−15.29)² + 17.71² + (−2.286)² + (−27.29)² = 1659

标准差

s = √(1659/6) = 16.63

答案

s = 16.63

10.描述统计

答案: P = 0.8413

标准化

z = −1

标准正态分布表

Φ(−1) = 0.1587

P = 1 − 0.1587 = 0.8413

答案

P = 0.8413

11.概率

答案: P = 0.7209

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁷ = 0.2791

P = 1 − 0.2791 = 0.7209

答案

P = 0.7209

12.概率

答案: P = 0.2461

二项分布公式

P(X = 5) = 126·0.5⁵·0.5⁴ = 126·0.03125·0.0625 = 0.2461

答案

P = 0.2461

13.正态分布

答案: z = 2.19

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.9715)/2 = 0.9857

反向查 z 表

在表中找到 0.9857，读出 z。

z = 2.19

答案

z = 2.19

14.正态分布

答案: x = 81.45 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

换算回 x

x = 65 + 1.645·10 = 81.45 分

答案

x = 81.45 分

15.置信区间

答案: E = 4.695

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 12, t = 1.782

误差范围

E = 1.782·9.5/√13 = 4.695

答案

E = 4.695

16.置信区间

答案: n = 188

解出 n

n = (1.645·25/3)² = 187.9

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 188

答案

n = 188

17.假设检验与置信区间

答案: t = 2.9

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

检验统计量

t = (505.8 − 500)/2 = 2.9

答案

t = 2.9

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| > 2.03，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: z = 3.188

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 20/100 = 0.2

p̂₂ = 20/250 = 0.08

p̂ = 40/350 = 0.1143

H₀ 下的标准误

SE = √(0.1143·0.8857·(1/100 + 1/250)) = 0.03764

检验统计量

z = (0.2 − 0.08)/0.03764 = 3.188

答案

z = 3.188

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

19.线性回归与相关

答案: r = −0.9889

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 271 − 15·100/5 = −29

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 2086 − 100²/5 = 86

答案

r = −0.9889

20.线性回归与相关

答案: x = 15.62

均值

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 395/5 = 79

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 390

回归直线

b = 390/90 = 4.333

a = 79 − 4.333·20 = −7.667

ŷ = −7.667 + 4.333·x

解出 x

x = (60 − (−7.667))/4.333 = 15.62

答案

x = 15.62

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