CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €500，共 6 年。年利率为 6%。求该年金的现值 PV。

A = €500i = 6%n = 6

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 15 年内每月月末存入 €100。账户年利率 6%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1006% / 12N = 180

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €500 000。它在第一年年末产生 €50 000，之后现金流每年永久增长 3%。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €500 000CF₁ = €50 000g = 3%r = 12%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €100 000。其现金流在第 1 年年末为 €13 000，之后每年增长 3%，直到第 7 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF₁ = €13 000g = 3%n = 7r = 8%

NPV = €

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 6%，每半年付息一次，7 年后到期。到期收益率为每年 5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 6%YTM = 5%n = 7

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 3 年后到期，售价为 €1 045。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 3P = €1 045

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €10 000 000，债务价值为 €5 000 000。其 WACC 为 6.33%，税前债务成本为 4%，税率为 25%。求股权资本成本 r_e。

E = €10 000 000D = €5 000 000WACC = 6.33%r_d = 4%T = 25%

r_e = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €42.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 28%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 3%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 1.8r_f = 3%r_m = 8.5%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：18, 15, 55, 50, 33, 36。

n = 6

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 40。求成绩 560 的 z 分数 z。

μ = 500σ = 40x = 560

z =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.1, 0.35, 0.2

σ =

12.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 2X + 20。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.35, 0.2, 0.1Y = 2X + 20

σ_Y =

13.正态分布中等

水泥袋的质量相互独立，服从均值 25 kg、标准差 0.5 kg 的正态分布。求其中 4 个的总质量超过 100.5 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 4> 100.5 kg

P =

14.正态分布困难

一组人中男性的身高 X 与女性的身高 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 180 cm，标准差为 10 cm，Y 的均值为 170 cm，标准差为 12 cm。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

15.置信区间中等

一个包含 9 个个体的样本，均值为 43.5，标准差 s = 11.5。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的下限。

n = 9x̄ = 43.5s = 11.590%t(8) = 1.86

下限 =

16.置信区间困难

总体标准差为 6。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 1.5？

σ = 6E = 1.599%

n =

17.假设检验与置信区间中等

据称某总体的均值为 500；已知总体标准差为 16。一个含 64 个观测值的随机样本均值为 497.64。检验 H₀: μ = 500 对 H₁: μ < 500。求 p 值 p。

μ₀ = 500σ = 16n = 64x̄ = 497.64H₁: μ < μ₀

p =

18.假设检验与置信区间困难

49 次测量的样本均值为 56.3。总体标准差为 20。求均值 99% 置信区间的下限 L。

x̄ = 56.3σ = 20n = 4999%

L =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (4.5, 51)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(4.5, 51)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 2459 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.705)/0.06 = 4.917

现值

PV = 500·4.917 = €2 458.66

答案

PV = €2 458.66

2.货币的时间价值

答案: FV = 29082 €

月利率和存款次数

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·15 = 180

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(2.454 − 1)/0.005 = €29 081.87

答案

FV = €29 081.87

你自己存入了 €18 000；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 55556 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 50 000/(0.12 − 0.03) = 555 555.56

NPV

NPV = 555 555.56 − 500 000 = €55 555.56

答案

NPV = €55 555.56

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: NPV = −26581 €

增长型年金的现值

((1.03)/(1.08))⁷ = 0.7176

PV = 13 000/(0.08 − 0.03)·(1 − 0.7176) = 73 418.91

NPV

NPV = 73 418.91 − 100 000 = −€26 581.09

答案

NPV = −€26 581.09

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

5.债券定价与收益率

答案: P = 1058 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €30.00, i = 0.025, N = 14

票息的现值

€30.00·(1 − 0.7077)/0.025 = €350.73

面值的现值

€1 000·0.7077 = €707.73

价格

P = €1 058.45

答案

P = €1 058.45

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 2.427 %

收益率方程

€1 045 = €40·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(2%) = €1 057.68, P(3%) = €1 028.29

YTM = 2.427%

答案

YTM = 2.427%

7.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 7.995 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €15 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC 中的债务部分

0.3333·4%·(1 − 0.25) = 1%

股权成本

r_e = (6.33% − 1%)/0.6667 = 7.995%

答案

r_e = 7.995%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 11.79 %

市场价值

E = 2 000 000·€42.00 = €84 000 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 1.8·5.5% = 12.9%

权重

V = €94 500 000, E/V = 0.8889, D/V = 0.1111

WACC

WACC = 0.8889·12.9% + 0.1111·4%·(1 − 0.28) = 11.79%

答案

WACC = 11.79%

9.描述统计

答案: s = 16.23

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 207/6 = 34.5

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−16.5)² + (−19.5)² + 20.5² + 15.5² + (−1.5)² + 1.5² = 1318

标准差

s = √(1318/5) = 16.23

答案

s = 16.23

10.描述统计

答案: z = 1.5

标准化

z = (560 − 500)/40 = 1.5

答案

z = 1.5

11.概率

答案: σ = 2.315

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.35 + 2·0.1 + 4·0.35 + 6·0.2 = 2.8

平方的均值

E(X²) = 0·0.35 + 4·0.1 + 16·0.35 + 36·0.2 = 13.2

方差

Var(X) = 13.2 − 2.8² = 5.36

σ = √5.36 = 2.315

答案

σ = 2.315

12.概率

答案: σ_Y = 3.894

X 的离散程度

μ = 2.1, Var(X) = 3.79, σ_X = 1.947

线性变换

σ_Y = |2|·1.947 = 3.894

答案

σ_Y = 3.894

均值确实会改变：E(Y) = 2·2.1 + 20 = 24.2。

13.正态分布

答案: P = 0.3085

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 100 kg, σ_T = 0.5·√4 = 1 kg

标准化

z = (100.5 − 100)/1 = 0.5

概率

P = 1 − Φ(0.5) = 0.3085

答案

P = 0.3085

14.正态分布

答案: P = 0.7389

差的分布

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

标准化

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

概率

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

答案

P = 0.7389

15.置信区间

答案: 下限 = 36.37

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 8, t = 1.86

误差范围

E = 1.86·11.5/√9 = 7.13

区间

43.5 ± 7.13 → [36.37, 50.63]

答案

下限 = 36.37

16.置信区间

答案: n = 107

解出 n

n = (2.576·6/1.5)² = 106.2

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 107

答案

n = 107

17.假设检验与置信区间

答案: p = 0.119

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

检验统计量

SE = σ/√n = 16/√64 = 2

z = (497.64 − 500)/2 = −1.18

尾部面积

Φ(1.18) = 0.8810

1 − Φ(1.18) = 0.1190

p 值

p = 0.119

答案

p = 0.119

p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: L = 48.94

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 2.576·20/√49 = 7.36

区间端点

L = 56.3 − 7.36 = 48.94

答案

L = 48.94

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9972

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 400/5 = 80

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 254

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1622

答案

r = 0.9972

20.线性回归与相关

答案: e = 5.15

均值

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 217/5 = 43.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 49

回归直线

b = 49/10 = 4.9

a = 43.4 − 4.9·4 = 23.8

ŷ = 23.8 + 4.9·x

预测值

ŷ = 23.8 + 4.9·4.5 = 45.85

残差

e = 51 − 45.85 = 5.15

答案

e = 5.15

该点位于直线上方。

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