CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 4 年后需要 €15 000。某账户年利率 3.6%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €15 0003.6% / 12n = 4

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 28 年内每月月末存入 €500。账户年利率 2.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €5002.4% / 12N = 336

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€13 000, €11 000, €9 000, €14 000。资本成本为 15%。求净现值 NPV。

r = 15%CF₀ = −30 000CF₁ = 13 000CF₂ = 11 000CF₃ = 9 000CF₄ = 14 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一笔 €20 000 的投资在 4 年内每年年末回报 €6 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €20 000CF = €6 000n = 4

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 10 年后到期，每年付息。到期收益率为 2.5% 时其售价为 €1 131。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 10P = €1 131YTM = 2.5%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 3 年后到期，售价为 €960。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 3P = €960

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €6 000 000，债务价值为 €5 000 000。其 WACC 为 9.68%，税前债务成本为 6%，税率为 25%。求股权资本成本 r_e。

E = €6 000 000D = €5 000 000WACC = 9.68%r_d = 6%T = 25%

r_e = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €30.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 3%，市场回报率为 9.5%。求 WACC。

β = 1.1r_f = 3%r_m = 9.5%r_d = 5%T = 30%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：56, 18, 43, 13, 21, 60, 54。

n = 7

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 15。数值高于 79 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 15x = 79

P =

11.概率中等

从 15 人中选出 5 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 15k = 5

N =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.1 赢得 €6，以概率 0.02 赢得 €100；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €2€6: p = 0.1€100: p = 0.02

E(G) = €

13.正态分布中等

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 85.75 和 130.75 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 100σ = 15x₁ = 85.75x₂ = 130.75

P =

14.正态分布困难

运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

15.置信区间中等

测量 11 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −9，标准差为 6.9。求平均差值的 99% 置信区间的下限。

n = 11d̄ = −9s_d = 6.999%t(10) = 3.169

下限 = mmHg

16.置信区间困难

总体标准差为 9。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.5？

σ = 9E = 0.595%

n =

17.假设检验与置信区间中等

25 名学生的样本平均分为 121.9，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 121.9s = 4n = 25

t =

18.假设检验与置信区间困难

49 次测量的样本均值为 504。总体标准差为 10。求均值 95% 置信区间的上限 U。

x̄ = 504σ = 10n = 4995%

U =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (19.5, 111)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(19.5, 111)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 12991 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·4 = 48

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1.155 = €12 991.12

答案

PV = €12 991.12

2.货币的时间价值

答案: FV = 239209 €

月利率和存款次数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·28 = 336

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(1.957 − 1)/0.002 = €239 209.01

答案

FV = €239 209.01

你自己存入了 €168 000；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 3544 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.15)¹ = 13 000/1.15 = 11 304.35

CF₂/(1 + 0.15)² = 11 000/1.322 = 8 317.58

CF₃/(1 + 0.15)³ = 9 000/1.521 = 5 917.65

CF₄/(1 + 0.15)⁴ = 14 000/1.749 = 8 004.55

相加

NPV = €3 544.12

答案

NPV = €3 544.12

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 7.714 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁴)/i = 20 000/6 000 = 3.333

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 7%: 3.387

i = 8%: 3.312

IRR = 7.714%

答案

IRR = 7.714%

5.债券定价与收益率

答案: c = 3.997 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.025)⁻¹⁰ = €781.20

票息

C = (1131 − 781.20)/8.752 = €39.97

票面利率

c = 39.97/1000 = 3.997%

答案

c = 3.997%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.511 %

收益率方程

€960 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(6%) = €973.27, P(7%) = €947.51

YTM = 6.511%

答案

YTM = 6.511%

7.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 14 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €11 000 000, E/V = 0.5455, D/V = 0.4545

WACC 中的债务部分

0.4545·6%·(1 − 0.25) = 2.045%

股权成本

r_e = (9.68% − 2.045%)/0.5455 = 14%

答案

r_e = 14%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.379 %

市场价值

E = 5 000 000·€30.50 = €152 500 000

D = 20 000·€1 000 = €20 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 1.1·6.5% = 10.15%

权重

V = €172 500 000, E/V = 0.8841, D/V = 0.1159

WACC

WACC = 0.8841·10.15% + 0.1159·5%·(1 − 0.3) = 9.379%

答案

WACC = 9.379%

9.描述统计

答案: s = 20.01

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 265/7 = 37.86

离差平方

Σ(x − x̄)² = 18.14² + (−19.86)² + 5.143² + (−24.86)² + (−16.86)² + 22.14² + 16.14² = 2403

标准差

s = √(2403/6) = 20.01

答案

s = 20.01

10.描述统计

答案: P = 0.2743

标准化

z = 0.6

标准正态分布表

Φ(0.6) = 0.7257

P = 1 − 0.7257 = 0.2743

答案

P = 0.2743

11.概率

答案: N = 3003

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(15, 5) = (15·14·13·12·11)/(5·4·3·2·1) = 3003

答案

N = 3003

12.概率

答案: E(G) = 0.6 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 4 (p = 0.1), 98 (p = 0.02), −2 (p = 0.88)

期望值

E(G) = 4·0.1 + 98·0.02 − 2·0.88 = 0.6 €

答案

E(G) = 0.6 €

正值表示平均而言你会赢钱。

13.正态分布

答案: P = 0.8088

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (85.75 − 100)/15 = −0.95

z₂ = (130.75 − 100)/15 = 2.05

中间面积

P = Φ(2.05) − Φ(−0.95) = 0.9798 − 0.1711 = 0.8088

答案

P = 0.8088

14.正态分布

答案: P = 0.7881

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

标准化

z = (0 − 4)/5 = −0.8

概率

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

答案

P = 0.7881

15.置信区间

答案: 下限 = −15.59 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

临界值

df = 10, t = 3.169

误差范围

E = 3.169·6.9/√11 = 6.593

区间

−9 ± 6.593 → [−15.59, −2.407]

答案

下限 = −15.59 mmHg

16.置信区间

答案: n = 1245

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.96·9/0.5)² = 1245

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 1245

答案

n = 1245

17.假设检验与置信区间

答案: t = 2.375

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 4/√25 = 4/5 = 0.8

检验统计量

t = (121.9 − 120)/0.8 = 2.375

答案

t = 2.375

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| > 2.064，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: U = 506.8

误差范围

E = 1.96·10/√49 = 2.8

区间端点

U = 504 + 2.8 = 506.8

答案

U = 506.8

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9658

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 153/6 = 25.5

ȳ = 539/6 = 89.83

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 664.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2903

决定系数

r² = 664.5²/(157.5·2903) = 0.9658

答案

r² = 0.9658

y 的变异中约有 96.58% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: e = −2.85

均值

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 705/5 = 141

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 543

回归直线

b = 543/90 = 6.033

a = 141 − 6.033·24 = −3.8

ŷ = −3.8 + 6.033·x

预测值

ŷ = −3.8 + 6.033·19.5 = 113.8

残差

e = 111 − 113.8 = −2.85

答案

e = −2.85

该点位于直线下方。

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