CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €2 000，共 7 年。年利率为 3%。求该年金的现值 PV。

A = €2 000i = 3%n = 7

PV = €

2.货币的时间价值困难

你希望在 17 年后得到 €100 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 6%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €100 0006% / 12N = 204

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €100 000。它在 7 年内每年年末产生 €18 500，之后可以以 €15 000 出售。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF = €18 500S = €15 000n = 7r = 10%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €7 500, €7 500, €6 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 500CF₂ = 7 500CF₃ = 6 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 12 年的债券（面值 €1 000，年票息 3%）到期收益率为 5% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 6% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 12y₀ = 5%y₁ = 6%

HPR = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 7 年后到期，售价为 €940。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 7P = €940

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €5 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 9%，税前债务成本为 3.5%，税率为 28%。求 WACC。

E = €5 000 000D = €4 000 000r_e = 9%r_d = 3.5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €20.50 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.3，无风险利率为 4%，市场回报率为 9.5%。求 WACC。

β = 1.3r_f = 4%r_m = 9.5%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：33, 14, 51, 27, 50。

n = 5

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 5。数值低于 92.5 的比例 P 是多少？

μ = 100σ = 5x = 92.5

P =

11.概率中等

袋中有 7 个红球和 4 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

7 / 4

P =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €3。你以概率 0.2 赢得 €9，以概率 0.01 赢得 €30；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €3€9: p = 0.2€30: p = 0.01

E(G) = €

13.正态分布中等

X 服从均值 60 s、标准差 5 s 的正态分布；Y 独立，服从均值 45 s、标准差 4 s 的正态分布。求 X + Y 大于 111.4 s 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 111.4 s

P =

14.正态分布困难

运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

15.置信区间中等

基于 64 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 3.1。基于 16 个观测值的 95% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？

90%n₁ = 64E₁ = 3.195%n₂ = 16

E₂ =

16.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：13 块地，平均产量 41.5 kg，标准差 9.5 kg。地块组 2：18 块地，均值 49.5 kg，标准差 1 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的误差范围 E。

n₁ = 13x̄₁ = 41.5s₁ = 9.5n₂ = 18x̄₂ = 49.5s₂ = 199%t(29) = 2.756

E = kg

17.假设检验与置信区间中等

100 名学生的样本平均分为 497.2，样本标准差为 20。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。

μ₀ = 500x̄ = 497.2s = 20n = 100

t =

18.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1.5？标准差为 8。求最小样本量 n。

σ = 8E = 1.590%

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 25？

n = 6ŷ = 25

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 12461 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.8131)/0.03 = 6.23

现值

PV = 2 000·6.23 = €12 460.57

答案

PV = €12 460.57

2.货币的时间价值

答案: A = 283.1 €

月利率和存款次数

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·17 = 204

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 100 000·0.005/(2.766 − 1) = €283.10

答案

A = €283.10

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −2237 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

18 500·4.868 = 90 065.75

残值的现值

15 000/1.949 = 7 697.37

NPV

NPV = −100 000 + 90 065.75 + 7 697.37 = −€2 236.88

答案

NPV = −€2 236.88

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 50.99 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(50%) = 111.11

NPV(55%) = −428.32

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 50 + 5·111.11/(111.11 − (−428.32)) = 51.03%

精确: NPV(50.99%) = 0 → IRR = 50.99%

答案

IRR = 50.99%

5.债券定价与收益率

答案: HPR = −3.566 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €30.00, i = 0.05, N = 12

€30.00·(1 − 0.5568)/0.05 + €1 000·0.5568 = €265.90 + €556.84 = €822.73

卖出价

C = €30.00, i = 0.06, N = 11

€30.00·(1 − 0.5268)/0.06 + €1 000·0.5268 = €236.61 + €526.79 = €763.39

持有期收益率

HPR = (30 + 763.39 − 822.73)/822.73 = −3.566%

答案

HPR = −3.566%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 4 %

收益率方程

€940 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数值求解

P(3%) = €1 000.00, P(4%) = €939.98

YTM = 4%

答案

YTM = 4%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.12 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €9 000 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444

WACC

WACC = 0.5556·9% + 0.4444·3.5%·(1 − 0.28) = 6.12%

答案

WACC = 6.12%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.02 %

市场价值

E = 2 500 000·€20.50 = €51 250 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 1.3·5.5% = 11.15%

权重

V = €93 250 000, E/V = 0.5496, D/V = 0.4504

WACC

WACC = 0.5496·11.15% + 0.4504·6%·(1 − 0.3) = 8.02%

答案

WACC = 8.02%

9.描述统计

答案: s = 15.73

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 175/5 = 35

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−2)² + (−21)² + 16² + (−8)² + 15² = 990

标准差

s = √(990/4) = 15.73

答案

s = 15.73

10.描述统计

答案: P = 0.06681

标准化

z = −1.5

标准正态分布表

Φ(−1.5) = 0.06681

P = 0.06681

答案

P = 0.06681

11.概率

答案: P = 0.3818

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 7/11 · 6/10 = 42/110 = 0.3818

答案

P = 0.3818

12.概率

答案: E(G) = −0.9 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 6 (p = 0.2), 27 (p = 0.01), −3 (p = 0.79)

期望值

E(G) = 6·0.2 + 27·0.01 − 3·0.79 = −0.9 €

答案

E(G) = −0.9 €

负值表示平均而言你会亏钱。

13.正态分布

答案: P = 0.1587

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

标准化

z = (111.4 − 105)/6.403 = 1

上尾

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587

答案

P = 0.1587

14.正态分布

答案: P = 0.7881

差的分布

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

标准化

z = (0 − 4)/5 = −0.8

概率

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

答案

P = 0.7881

15.置信区间

答案: E₂ = 7.387

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(64/16) = 2.383

新的误差范围

E₂ = 3.1·2.383 = 7.387

答案

E₂ = 7.387

16.置信区间

答案: E = 6.178 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

合并标准差

s_p² = (12·9.5² + 17·1²)/29 = 37.93

s_p = 6.159

误差范围

E = 2.756·6.159·√(1/13 + 1/18) = 6.178

答案

E = 6.178 kg

17.假设检验与置信区间

答案: t = −1.4

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 20/√100 = 20/10 = 2

检验统计量

t = (497.2 − 500)/2 = −1.4

答案

t = −1.4

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| < 1.984，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 77

解出 n

n = (1.645·8/1.5)² = 76.97

向上取整

n = 77

答案

n = 77

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.68

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 167/5 = 33.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 27

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 107.2

决定系数

r² = 27²/(10·107.2) = 0.68

答案

r² = 0.68

y 的变异中约有 68% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: x = 10.99

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 98/6 = 16.33

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

回归直线

b = 152/70 = 2.171

a = 16.33 − 2.171·7 = 1.133

ŷ = 1.133 + 2.171·x

解出 x

x = (25 − 1.133)/2.171 = 10.99

答案

x = 10.99

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