CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 16%，每天复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 16%m = 365

EAR = %

2.货币的时间价值困难

你在 20 年内每月月末存入 €250。账户年利率 4.8%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €2504.8% / 12N = 240

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€23 000, €15 000, €22 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF₀ = −60 000CF₁ = 23 000CF₂ = 15 000CF₃ = 22 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €15 500, €14 500, €16 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 15 500CF₂ = 14 500CF₃ = 16 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，6 年后到期。到期收益率为每年 5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 5%n = 6

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 4 年后到期，售价为 €1 055。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 4P = €1 055

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €4 000 000，债务价值为 €3 000 000。其 WACC 为 6.04%，税前债务成本为 3%，税率为 30%。求股权资本成本 r_e。

E = €4 000 000D = €3 000 000WACC = 6.04%r_d = 3%T = 30%

r_e = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 1。它计划采用 1 的负债权益比。税率为 30%，无风险利率为 1%，市场风险溢价为 5%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 1D/E = 1T = 30%r_f = 1%r_m − r_f = 5%

r_e = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：24, 34, 20, 34, 24。

n = 5

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 15。求成绩 55 的 z 分数 z。

μ = 70σ = 15x = 55

z =

11.概率中等

袋中有 7 个红球和 9 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

7 / 9

P =

12.概率困难

一份测试有 10 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.6，相互独立。恰好答对 1 题的概率 P 是多少？

n = 10p = 0.6k = 1

P =

13.正态分布中等

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 242.75 和 251 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 250σ = 5x₁ = 242.75x₂ = 251

P =

14.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。

μ = 500σ = 40P = 20%

x = h

15.置信区间中等

一个包含 7 个个体的样本，均值为 84，标准差 s = 5.5。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。

n = 7x̄ = 84s = 5.595%t(6) = 2.447

E =

16.置信区间困难

总体标准差为 40。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 3？

σ = 40E = 399%

n =

17.假设检验与置信区间中等

6 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 3.23，差值的标准差为 2.4。求 H₀: μ_d = 0 的配对检验统计量 t。

n = 6d̄ = 3.23s_d = 2.4

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.01 下，用容量为 36 的样本对 H₀: μ = 500 与 H₁: μ > 500 进行单侧 z 检验；已知标准差为 3。实际上均值为 500.9。求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。

μ₀ = 500μ = 500.9σ = 3n = 36α = 0.01

1 − β = %

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求皮尔逊相关系数 r。

n = 6

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (8, 70)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 6(8, 70)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 17.35 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.16/365 = 0.0004384

复利一年

EAR = (1 + 0.0004384)³⁶⁵ − 1 = 1.173 − 1 = 17.35%

答案

EAR = 17.35%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: FV = 100419 €

月利率和存款次数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·20 = 240

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(2.607 − 1)/0.004 = €100 418.76

答案

FV = €100 418.76

你自己存入了 €60 000；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −11847 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 23 000/1.12 = 20 535.71

CF₂/(1 + 0.12)² = 15 000/1.254 = 11 957.91

CF₃/(1 + 0.12)³ = 22 000/1.405 = 15 659.17

相加

NPV = €−11 847.21

答案

NPV = €−11 847.21

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 7.837 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(5%) = 2 167.15

NPV(10%) = −1 528.93

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 5 + 5·2 167.15/(2 167.15 − (−1 528.93)) = 7.932%

精确: NPV(7.837%) = 0 → IRR = 7.837%

答案

IRR = 7.837%

5.债券定价与收益率

答案: P = 897.4 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €15.00, i = 0.025, N = 12

票息的现值

€15.00·(1 − 0.7436)/0.025 = €153.87

面值的现值

€1 000·0.7436 = €743.56

价格

P = €897.42

答案

P = €897.42

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 2.537 %

收益率方程

€1 055 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

数值求解

P(2%) = €1 076.15, P(3%) = €1 037.17

YTM = 2.537%

答案

YTM = 2.537%

7.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 8.995 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.5714, D/V = 0.4286

WACC 中的债务部分

0.4286·3%·(1 − 0.3) = 0.9%

股权成本

r_e = (6.04% − 0.9%)/0.5714 = 8.995%

答案

r_e = 8.995%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 9.5 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 1·(1 + 0.7·1) = 1.7

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 1.7·5% = 9.5%

答案

r_e = 9.5%

9.描述统计

答案: s = 6.419

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 136/5 = 27.2

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−3.2)² + 6.8² + (−7.2)² + 6.8² + (−3.2)² = 164.8

标准差

s = √(164.8/4) = 6.419

答案

s = 6.419

10.描述统计

答案: z = −1

标准化

z = (55 − 70)/15 = −1

答案

z = −1

11.概率

答案: P = 0.175

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 7/16 · 6/15 = 42/240 = 0.175

答案

P = 0.175

12.概率

答案: P = 0.001573

二项分布公式

P(X = 1) = 10·0.6¹·0.4⁹ = 10·0.6·0.0002621 = 0.001573

答案

P = 0.001573

13.正态分布

答案: P = 0.5057

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (242.75 − 250)/5 = −1.45

z₂ = (251 − 250)/5 = 0.2

中间面积

P = Φ(0.2) − Φ(−1.45) = 0.5793 − 0.07353 = 0.5057

答案

P = 0.5057

14.正态分布

答案: x = 466.3 h

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

换算回 x

x = 500 + −0.8416·40 = 466.34 h

答案

x = 466.34 h

15.置信区间

答案: E = 5.087

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 6, t = 2.447

误差范围

E = 2.447·5.5/√7 = 5.087

答案

E = 5.087

16.置信区间

答案: n = 1180

解出 n

n = (2.576·40/3)² = 1180

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 1180

答案

n = 1180

17.假设检验与置信区间

答案: t = 3.297

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

平均差值的标准误

SE = 2.4/√6 = 0.9798

检验统计量

t = 3.23/0.9798 = 3.297

答案

t = 3.297

df = 5 时，双侧 5% 的临界值为 2.571；|t| 更大，所以拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: 1 − β = 29.94 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 3/√36 = 0.5

x̄_c = 500 + 2.326·0.5 = 501.2

真实均值下的 z

z = (501.2 − 500.9)/0.5 = 0.526

功率

功效 = P(Z > 0.526) = 29.94%

1 − β = 29.94%

答案

1 − β = 29.94%

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9862

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 141/6 = 23.5

ȳ = 600/6 = 100

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 828

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 4476

答案

r = 0.9862

20.线性回归与相关

答案: e = −4.5

均值

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 447/6 = 74.5

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 253

回归直线

b = 253/70 = 3.614

a = 74.5 − 3.614·8 = 45.59

ŷ = 45.59 + 3.614·x

预测值

ŷ = 45.59 + 3.614·8 = 74.5

残差

e = 70 − 74.5 = −4.5

答案

e = −4.5

该点位于直线下方。

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