CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €2 000 的净租金。租金预计每年永久增长 4%。要求回报率为每年 10%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €2 000g = 4%r = 10%

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的抵押贷款在 30 年内按月等额偿还，年利率 7.2%，按月复利。在第 12 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €200 0007.2% / 12N = 360k = 144

B = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €40 000，使用 4 年，每年运行费用为 €1 000（每年年末支付）。资本成本为 10%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €40 000M = €1 000n = 4r = 10%

EAC = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €150 000。其现金流在第 1 年年末为 €27 500，之后每年增长 4%，直到第 6 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €150 000CF₁ = €27 500g = 4%n = 6r = 10%

NPV = €

5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 5 年的债券（面值 €1 000，年票息 8%）到期收益率为 4% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 4.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 5y₀ = 4%y₁ = 4.5%

HPR = %

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4.5% 的票息，分两次半年支付，4 年后到期。其售价为 €947。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4.5% (2×)n = 4P = €947

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €12 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 5%，税率为 28%。求 WACC。

E = €12 000 000D = €6 000 000r_e = 11%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €18.50 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 20%。股票的 β 系数为 0.6，无风险利率为 4%，市场回报率为 10%。求 WACC。

β = 0.6r_f = 4%r_m = 10%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：10, 10, 38, 15, 39, 21。

n = 6

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 5。数值高于 164 的比例 P 是多少？

μ = 170σ = 5x = 164

P =

11.概率中等

一颗均匀骰子掷 2 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 2

P =

12.概率困难

测试 12 个元件，每个独立地以概率 0.7 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 12p = 0.7

P =

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9488。求 z，保留两位小数。

A = 0.9488

z =

14.正态分布困难

运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

15.置信区间中等

一个包含 10 个个体的样本，均值为 86.5，标准差 s = 10。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的下限。

n = 10x̄ = 86.5s = 1099%t(9) = 3.25

下限 =

16.置信区间困难

事先对缺陷产品的比例一无所知。必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.01？

p = 0.5E = 0.0195%

n =

17.假设检验与置信区间中等

比较两种教学方法。第 1 组：13 名学生，平均分 71，标准差 10。第 2 组：9 名学生，平均分 79.8，标准差 5.5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。

n₁ = 13x̄₁ = 71s₁ = 10n₂ = 9x̄₂ = 79.8s₂ = 5.5

t =

18.假设检验与置信区间困难

100 次测量的样本均值为 98.6。总体标准差为 20。求均值 95% 置信区间的上限 U。

x̄ = 98.6σ = 20n = 10095%

U =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 25Σy = 232Σx² = 165Σy² = 11372Σxy = 1312

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (21.5, 109)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 6(21.5, 109)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 33333 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 2 000/(0.1 − 0.04) = 2 000/0.06 = €33 333.33

答案

PV = €33 333.33

2.货币的时间价值

答案: B = 164112 €

月供

i = 0.006, N = 360

A = 200 000·0.006/(1 − (1 + 0.006)⁻³⁶⁰) = €1 357.58

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 360 − 144 = 216

B = 1358·(1 − (1 + 0.006)⁻²¹⁶)/0.006 = €164 111.58

答案

B = €164 111.58

3.NPV 与 IRR

答案: EAC = 13619 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.1⁻⁴)/0.1 = 3.17

年化购置价格

40 000/3.17 = 12 618.83

EAC

EAC = 12 618.83 + 1 000 = €13 618.83

答案

EAC = €13 618.83

4.NPV 与 IRR

答案: NPV = −19026 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

增长型年金的现值

((1.04)/(1.1))⁶ = 0.7142

PV = 27 500/(0.1 − 0.04)·(1 − 0.7142) = 130 973.52

NPV

NPV = 130 973.52 − 150 000 = −€19 026.48

答案

NPV = −€19 026.48

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

5.债券定价与收益率

答案: HPR = 2.334 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €80.00, i = 0.04, N = 5

€80.00·(1 − 0.8219)/0.04 + €1 000·0.8219 = €356.15 + €821.93 = €1 178.07

卖出价

C = €80.00, i = 0.045, N = 4

€80.00·(1 − 0.8386)/0.045 + €1 000·0.8386 = €287.00 + €838.56 = €1 125.56

持有期收益率

HPR = (80 + 1 125.56 − 1 178.07)/1 178.07 = 2.334%

答案

HPR = 2.334%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.01 %

每期

C = €22.50, N = 8

数值求解

i = 3.005% 每半年

YTM

YTM = 2·3.005% = 6.01%

答案

YTM = 6.01%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.533 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €18 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·11% + 0.3333·5%·(1 − 0.28) = 8.533%

答案

WACC = 8.533%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.643 %

市场价值

E = 1 000 000·€18.50 = €18 500 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 0.6·6% = 7.6%

权重

V = €28 100 000, E/V = 0.6584, D/V = 0.3416

WACC

WACC = 0.6584·7.6% + 0.3416·6%·(1 − 0.2) = 6.643%

答案

WACC = 6.643%

9.描述统计

答案: s = 13.29

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 133/6 = 22.17

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−12.17)² + (−12.17)² + 15.83² + (−7.167)² + 16.83² + (−1.167)² = 882.8

标准差

s = √(882.8/5) = 13.29

答案

s = 13.29

10.描述统计

答案: P = 0.8849

标准化

z = −1.2

标准正态分布表

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 1 − 0.1151 = 0.8849

答案

P = 0.8849

11.概率

答案: P = 0.3056

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)² = 0.6944

P = 1 − 0.6944 = 0.3056

答案

P = 0.3056

12.概率

答案: P = 1.541 × 10⁻⁵

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.3¹² = 5.314 × 10⁻⁷

P(X = 1) = 12·0.7·0.3¹¹ = 1.488 × 10⁻⁵

相加

P = 5.314 × 10⁻⁷ + 1.488 × 10⁻⁵ = 1.541 × 10⁻⁵

答案

P = 1.541 × 10⁻⁵

13.正态分布

答案: z = 1.95

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.9488)/2 = 0.9744

反向查 z 表

在表中找到 0.9744，读出 z。

z = 1.95

答案

z = 1.95

14.正态分布

答案: P = 0.7881

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

标准化

z = (0 − 4)/5 = −0.8

概率

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

答案

P = 0.7881

15.置信区间

答案: 下限 = 76.22

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 9, t = 3.25

误差范围

E = 3.25·10/√10 = 10.28

区间

86.5 ± 10.28 → [76.22, 96.78]

答案

下限 = 76.22

16.置信区间

答案: n = 9604

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 1.96²·0.5·0.5/0.01² = 9604

向上取整

n = 9604

答案

n = 9604

17.假设检验与置信区间

答案: t = −2.39

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

合并方差

s_p² = (12·10² + 8·5.5²)/20 = 72.1

s_p = 8.491

标准误

SE = 8.491·√(1/13 + 1/9) = 3.682

检验统计量

t = (71 − 79.8)/3.682 = −2.39

答案

t = −2.39

df = 20 时，双侧 5% 的临界值为 2.086；|t| 更大，所以拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: U = 102.5

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 1.96·20/√100 = 3.92

区间端点

U = 98.6 + 3.92 = 102.5

答案

U = 102.5

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9753

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 1312 − 25·232/5 = 152

S_xx = 165 − 25²/5 = 40

S_yy = 11372 − 232²/5 = 607.2

答案

r = 0.9753

20.线性回归与相关

答案: e = 2.167

均值

x̄ = 129/6 = 21.5

ȳ = 641/6 = 106.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 868.5

回归直线

b = 868.5/157.5 = 5.514

a = 106.8 − 5.514·21.5 = −11.72

ŷ = −11.72 + 5.514·x

预测值

ŷ = −11.72 + 5.514·21.5 = 106.8

残差

e = 109 − 106.8 = 2.167

答案

e = 2.167

该点位于直线上方。

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