货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以名义年利率 3.6% 投资 €3 000，按月复利。求 10 年后的投资价值 FV。
PV = €3 0003.6% / 12n = 10
FV = €
2.货币的时间价值困难
你在 26 年内每月月末存入 €250。账户年利率 5.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。
A = €2505.4% / 12N = 312
FV = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€25 000, €14 000, €13 000, €20 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。
r = 5%CF0 = −60 000CF1 = 25 000CF2 = 14 000CF3 = 13 000CF4 = 20 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
一笔 €40 000 的投资在 10 年内每年年末回报 €8 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。
C0 = €40 000CF = €8 000n = 10
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券在 10 年后到期，每年付息。到期收益率为 4% 时其售价为 €1 041。求票面利率 c，以百分比表示。
F = €1 000n = 10P = €1 041YTM = 4%
c = %
6.债券定价与收益率困难
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 7% 的票息，分两次半年支付，9 年后到期。其售价为 €1 069。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 7% (2×)n = 9P = €1 069
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.5。其股权资本成本为 13%，税前债务成本为 4%，税率为 25.8%。求 WACC。
D/E = 0.5re = 13%rd = 4%T = 25.8%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司股权的市场价值为 €8 000 000，股权资本成本为 10%。其债务由 8 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 6%，剩余期限 6 年），每张交易价格为 €976。税率为 20%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。
E = €8 000 000re = 10%债券: 8 000 × €976票面利率 = 6%n = 6T = 20%
WACC = %
9.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：10, 45, 23, 55, 57, 18, 45。
n = 7
s =
10.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 20。数值高于 195 的比例 P 是多少？
μ = 170σ = 20x = 195
P =
11.概率中等
从 10 人中选出 3 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 10k = 3
N =
12.概率困难
一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.1 赢得 €6，以概率 0.05 赢得 €40；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €2€6: p = 0.1€40: p = 0.05
E(G) = €
13.正态分布中等
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 244 和 260.25 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 250σ = 5x1 = 244x2 = 260.25
P =
14.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.05 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.05 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
15.置信区间中等
一个包含 16 个个体的样本，均值为 118，标准差 s = 3.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的上限。
n = 16x̄ = 118s = 3.595%t(15) = 2.131
上限 =
16.置信区间困难
总体标准差为 21。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 5？
σ = 21E = 599%
n =
17.假设检验与置信区间中等
49 名学生的样本平均分为 70.57，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。
μ₀ = 75x̄ = 70.57s = 10n = 49
t =
18.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.10 下，用容量为 100 的样本对 H₀: μ = 80 与 H₁: μ < 80 进行单侧 z 检验；已知标准差为 25。实际上均值为 74.25。 求第二类错误的概率 β，以百分比表示。
μ₀ = 80μ = 74.25σ = 25n = 100α = 0.10
β = %
19.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
20.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 64？
n = 6ŷ = 64
x =
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 4298 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = r/m = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = m·n = 12·10 = 120
终值
FV = 3 000·(1 + 0.003)120 = 3 000·1.433 = €4 297.67
答案
FV = €4 297.67
2.货币的时间价值
答案: FV = 169925 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045
N = 12·26 = 312
存款的终值
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 250·(4.059 − 1)/0.0045 = €169 925.01
答案
FV = €169 925.01
你自己存入了 €78 000；其余是利息。
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 4192 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.05)1 = 25 000/1.05 = 23 809.52
CF2/(1 + 0.05)2 = 14 000/1.103 = 12 698.41
CF3/(1 + 0.05)3 = 13 000/1.158 = 11 229.89
CF4/(1 + 0.05)4 = 20 000/1.216 = 16 454.05
相加
NPV = €4 191.87
答案
NPV = €4 191.87
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 15.1 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
所需的年金系数
(1 − (1 + i)−10)/i = 40 000/8 000 = 5
求利率
利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。
i = 15%: 5.019
i = 16%: 4.833
IRR = 15.1%
答案
IRR = 15.1%
5.债券定价与收益率
答案: c = 4.505 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
面值的现值
1000·(1 + 0.04)−10 = €675.56
票息
C = (1041 − 675.56)/8.111 = €45.05
票面利率
c = 45.05/1000 = 4.505%
答案
c = 4.505%
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 5.997 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €35.00, N = 18
数值求解
i = 2.998% 每半年
YTM
YTM = 2·2.998% = 5.997%
答案
YTM = 5.997%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 9.656 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
由 D/E 求权重
E/V = 1/(1 + 0.5) = 0.6667
D/V = 0.5/(1 + 0.5) = 0.3333
WACC
WACC = 0.6667·13% + 0.3333·4%·(1 − 0.258) = 9.656%
答案
WACC = 9.656%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 7.627 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
债务成本 (YTM)
976 = 60·(1 − (1 + y)−6)/y + 1000/(1 + y)6
y = 6.496%
市场价值
D = 8 000·€976 = €7 808 000
V = €15 808 000, E/V = 0.5061, D/V = 0.4939
WACC
WACC = 0.5061·10% + 0.4939·6.496%·(1 − 0.2) = 7.627%
答案
WACC = 7.627%
9.描述统计
答案: s = 18.85
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 253/7 = 36.14
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−26.14)² + 8.857² + (−13.14)² + 18.86² + 20.86² + (−18.14)² + 8.857² = 2133
标准差
s = √(2133/6) = 18.85
答案
s = 18.85
10.描述统计
答案: P = 0.1056
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1.25
标准正态分布表
Φ(1.25) = 0.8944
P = 1 − 0.8944 = 0.1056
答案
P = 0.1056
11.概率
答案: N = 120
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(10, 3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 120
答案
N = 120
12.概率
答案: E(G) = 0.6 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 4 (p = 0.1), 38 (p = 0.05), −2 (p = 0.85)
期望值
E(G) = 4·0.1 + 38·0.05 − 2·0.85 = 0.6 €
答案
E(G) = 0.6 €
正值表示平均而言你会赢钱。
13.正态分布
答案: P = 0.8647
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (244 − 250)/5 = −1.2
z₂ = (260.25 − 250)/5 = 2.05
中间面积
P = Φ(2.05) − Φ(−1.2) = 0.9798 − 0.1151 = 0.8647
答案
P = 0.8647
14.正态分布
答案: P = 0.9616
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.02828 mm
标准化
z = (0 − 0.05)/0.02828 = −1.77
概率
P = 1 − Φ(−1.77) = 0.9616
答案
P = 0.9616
15.置信区间
答案: 上限 = 119.9
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 15, t = 2.131
误差范围
E = 2.131·3.5/√16 = 1.865
区间
118 ± 1.865 → [116.1, 119.9]
答案
上限 = 119.9
16.置信区间
答案: n = 118
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·21/5)² = 117.1
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 118
答案
n = 118
17.假设检验与置信区间
答案: t = −3.101
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 10/√49 = 10/7 = 1.429
检验统计量
t = (70.57 − 75)/1.429 = −3.101
答案
t = −3.101
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| > 2.011，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
18.假设检验与置信区间
答案: β = 15.43 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 25/√100 = 2.5
x̄c = 80 − 1.282·2.5 = 76.8
真实均值下的 z
z = (76.8 − 74.25)/2.5 = 1.018
第二类错误
功效 = P(Z < 1.018) = 84.57%
β = 100% − 84.57% = 15.43%
答案
β = 15.43%
19.线性回归与相关
答案: r = 0.9804
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 270/5 = 54
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 57
Syy = Σ(y − ȳ)² = 338
相关系数
r = 57/√(10·338) = 0.9804
答案
r = 0.9804
20.线性回归与相关
答案: x = 5.869
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 379/6 = 63.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 39.5
回归直线
b = 39.5/17.5 = 2.257
a = 63.17 − 2.257·5.5 = 50.75
ŷ = 50.75 + 2.257·x
解出 x
x = (64 − 50.75)/2.257 = 5.869
答案
x = 5.869
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