CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 2 年后需要 €25 000。某账户年利率 3.6%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €25 0003.6% / 12n = 2

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 16 年内每月月末存入 €200。账户年利率 3%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €2003% / 12N = 192

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €30 000。它在 3 年内每年年末产生 €11 000，之后可以以 €7 500 出售。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €30 000CF = €11 000S = €7 500n = 3r = 10%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一笔 €50 000 的投资在 5 年内每年年末回报 €13 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €50 000CF = €13 000n = 5

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 4 年的债券（面值 €1 000，年票息 6%）到期收益率为 3% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 3.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 4y₀ = 3%y₁ = 3.5%

HPR = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 3 年后到期，售价为 €950。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 3P = €950

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €2 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 3%，税率为 20%。求 WACC。

E = €2 000 000D = €4 000 000r_e = 11%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €44.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 20%。股票的 β 系数为 0.9，无风险利率为 1%，市场回报率为 6.5%。求 WACC。

β = 0.9r_f = 1%r_m = 6.5%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：27, 43, 32, 35, 13, 42。

n = 6

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 40。求成绩 550 的 z 分数 z。

μ = 500σ = 40x = 550

z =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.35, 0.2, 0.1

σ =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €5。你以概率 0.25 赢得 €20，以概率 0.02 赢得 €250；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €5€20: p = 0.25€250: p = 0.02

E(G) = €

13.正态分布中等

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 70 和 127.75 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 100σ = 15x₁ = 70x₂ = 127.75

P =

14.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

15.置信区间中等

一个包含 8 个个体的样本，均值为 93.5，标准差 s = 18。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。

n = 8x̄ = 93.5s = 1895%t(7) = 2.365

E =

16.置信区间困难

25 根机加工轴的直径样本标准差为 7.2 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 24 时，χ² 分布有 2.5% 位于 12.401 以下，2.5% 位于 39.364 以上。

n = 25s = 7.2 µmχ² = 12.401, 39.364

σ = µm

17.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：30 个零件的样本平均长度为 63.5 mm，该生产线的已知标准差为 13 mm。生产线 2：100 个零件的样本均值为 67.2 mm，已知标准差为 6 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 30x̄₁ = 63.5 mmσ₁ = 13 mmn₂ = 100x̄₂ = 67.2 mmσ₂ = 6 mm

z =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 1 个单位的偏移。标准差为 8。求最小样本量 n。

α = 0.01功效 = 80%δ = 1σ = 8z_α = 2.326z_β = 0.842

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。求皮尔逊相关系数 r。

n = 6

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (15, 57)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(15, 57)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 23266 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·2 = 24

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1.075 = €23 265.78

答案

PV = €23 265.78

2.货币的时间价值

答案: FV = 49209 €

月利率和存款次数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·16 = 192

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(1.615 − 1)/0.0025 = €49 208.53

答案

FV = €49 208.53

你自己存入了 €38 400；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 2990 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

11 000·2.487 = 27 355.37

残值的现值

7 500/1.331 = 5 634.86

NPV

NPV = −30 000 + 27 355.37 + 5 634.86 = €2 990.23

答案

NPV = €2 990.23

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 9.435 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁵)/i = 50 000/13 000 = 3.846

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 9%: 3.89

i = 10%: 3.791

IRR = 9.435%

答案

IRR = 9.435%

5.债券定价与收益率

答案: HPR = 1.667 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €60.00, i = 0.03, N = 4

€60.00·(1 − 0.8885)/0.03 + €1 000·0.8885 = €223.03 + €888.49 = €1 111.51

卖出价

C = €60.00, i = 0.035, N = 3

€60.00·(1 − 0.9019)/0.035 + €1 000·0.9019 = €168.10 + €901.94 = €1 070.04

持有期收益率

HPR = (60 + 1 070.04 − 1 111.51)/1 111.51 = 1.667%

答案

HPR = 1.667%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 8.974 %

收益率方程

€950 = €70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(8%) = €974.23, P(9%) = €949.37

YTM = 8.974%

答案

YTM = 8.974%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.267 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €6 000 000, E/V = 0.3333, D/V = 0.6667

WACC

WACC = 0.3333·11% + 0.6667·3%·(1 − 0.2) = 5.267%

答案

WACC = 5.267%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.594 %

市场价值

E = 1 000 000·€44.00 = €44 000 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 0.9·5.5% = 5.95%

权重

V = €48 900 000, E/V = 0.8998, D/V = 0.1002

WACC

WACC = 0.8998·5.95% + 0.1002·3%·(1 − 0.2) = 5.594%

答案

WACC = 5.594%

9.描述统计

答案: s = 11.1

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 192/6 = 32

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−5)² + 11² + 0² + 3² + (−19)² + 10² = 616

标准差

s = √(616/5) = 11.1

答案

s = 11.1

10.描述统计

答案: z = 1.25

标准化

z = (550 − 500)/40 = 1.25

答案

z = 1.25

11.概率

答案: σ = 1.947

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.35 + 2·0.35 + 4·0.2 + 6·0.1 = 2.1

平方的均值

E(X²) = 0·0.35 + 4·0.35 + 16·0.2 + 36·0.1 = 8.2

方差

Var(X) = 8.2 − 2.1² = 3.79

σ = √3.79 = 1.947

答案

σ = 1.947

12.概率

答案: E(G) = 5 €

净结果

G: 15 (p = 0.25), 245 (p = 0.02), −5 (p = 0.73)

期望值

E(G) = 15·0.25 + 245·0.02 − 5·0.73 = 5 €

答案

E(G) = 5 €

正值表示平均而言你会赢钱。

13.正态分布

答案: P = 0.9451

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (70 − 100)/15 = −2

z₂ = (127.75 − 100)/15 = 1.85

中间面积

P = Φ(1.85) − Φ(−2) = 0.9678 − 0.02275 = 0.9451

答案

P = 0.9451

14.正态分布

答案: P = 0.9099

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02236 mm

标准化

z = (0 − 0.03)/0.02236 = −1.34

概率

P = 1 − Φ(−1.34) = 0.9099

答案

P = 0.9099

15.置信区间

答案: E = 15.05

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 7, t = 2.365

误差范围

E = 2.365·18/√8 = 15.05

答案

E = 15.05

16.置信区间

答案: σ = 5.622 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 24·7.2² = 1244

σ² 的限值

1244/39.364 = 31.61

1244/12.401 = 100.3

σ 的限值

σ = √31.61 = 5.622 µm

答案

σ = 5.622 µm

σ 的 95% 区间：[5.622, 10.02] µm。

17.假设检验与置信区间

答案: z = −1.511

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(13²/30 + 6²/100) = √5.993 = 2.448

检验统计量

z = (63.5 − 67.2)/2.448 = −1.511

答案

z = −1.511

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 643

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((2.326 + 0.842)·8/1)² = 642.3

向上取整

n = 643

答案

n = 643

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9257

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 356/6 = 59.33

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 67

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 299.3

答案

r = 0.9257

20.线性回归与相关

答案: e = −5.1

均值

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 375/5 = 75

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172

回归直线

b = 172/40 = 4.3

a = 75 − 4.3·18 = −2.4

ŷ = −2.4 + 4.3·x

预测值

ŷ = −2.4 + 4.3·15 = 62.1

残差

e = 57 − 62.1 = −5.1

答案

e = −5.1

该点位于直线下方。

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