电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 18 VR₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 5 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 9 VI_s = 2.5 AR₁ = 2 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 12 Ω

I_R1 = A

4.节点分析困难

用节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 15 VI_s = 5 AV₂ = 24 VR₁ = 25 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 4 Ω

V_B = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 6 VV₂ = 12 VR₁ = 3 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 3 Ω

I_R2 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 24 VV₂ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 15 Ω

I₂ = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 24 VI_s = 5 AR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 3 Ω

V_R2 = V

8.叠加定理困难

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电压源 V₂ 的值（极性如图所示）。

V₁ = 24 VI_s = 4 AR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 15 Ω

V₂ = V

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 9 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 12 VI_s = 2 AR₁ = 15 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 25 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = −0.8 VR₁ = 100 kΩR_f = 100 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。电阻比不匹配。求输出电压 V_out。

V₁ = 1.7 VV₂ = 1.8 VR₁ = 2 kΩR₂ = 4.7 kΩR₃ = 2 kΩR₄ = 10 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 99%？求 t。

V_s = 12 VR = 33 ΩL = 10 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 30 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 24 V？求 t。

V_s = 15 VR = 10 kΩC = 68 µFv_C(0) = 30 V

t = ms

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 11.21 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 5 + 4 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 20·9/(20+9) = 6.207 Ω

R_eq = R₁ + 6.207 = 5 + 6.207 = 11.21 Ω

答案

R_eq = 11.21 Ω

2.串并联电阻

答案: R_eq = 9.85 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 25 + 5 = 30 Ω

R₄ ∥ 30 = 6.316 Ω

R₃ + 6.316 = 12.32 Ω

R₂ ∥ 12.32 = 4.85 Ω

R_eq = R₁ + 4.85 = 5 + 4.85 = 9.85 Ω

答案

R_eq = 9.85 Ω

3.节点分析

答案: I_R1 = 1.214 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 9 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/3 + (V_A − 9)/2 + (V_A − V_B)/12 = 0

0.9167·V_A − 0.08333·V_B = 4.5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/12 + (V_B − V_A)/12 = 2.5

−0.08333·V_A + 0.1667·V_B = 2.5

求解

Δ = (0.9167)(0.1667) − (−0.08333)(−0.08333) = 0.1458

V_A = Δ₁/Δ = 0.9583/0.1458 = 6.571 V

V_B = Δ₂/Δ = 2.667/0.1458 = 18.29 V

答案

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (9 − 6.571)/2 = 1.214 A

4.节点分析

答案: V_B = 17.96 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 15 V, V₂ = 24 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/6 + (V_A − 15)/25 + (V_A − V_B)/10 = 0

0.3067·V_A − 0.1·V_B = 0.6

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/4 + (V_B − V_A)/10 + (V_B − 24)/12 = 5

−0.1·V_A + 0.4333·V_B = 7

求解

Δ = (0.3067)(0.4333) − (−0.1)(−0.1) = 0.1229

V_A = Δ₁/Δ = 0.96/0.1229 = 7.812 V

V_B = Δ₂/Δ = 2.207/0.1229 = 17.96 V

答案

V_B = 17.96 V

5.网孔分析

答案: I_R2 = −0.7826 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

3·I₁ + 3(I₁ − I₂) = 6

6·I₁ − 3·I₂ = 6

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

10·I₂ + 3(I₂ − I₁) = (−12)

−3·I₁ + 13·I₂ = −12

求解

Δ = (6)(13) − (−3)(−3) = 69

I₁ = Δ₁/Δ = 42/69 = 0.6087 A

I₂ = Δ₂/Δ = −54/69 = −0.7826 A

答案

I_R2 = I₂ = −0.7826 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₂ = 0.78 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

6·I₁ + 15(I₁ − I₂) = 24

21·I₁ − 15·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

4·I₂ + 15(I₂ − I₁) + 15(I₂ − I₃) = 0

−15·I₁ + 34·I₂ − 15·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

10·I₃ + 15(I₃ − I₂) = (−10)

−15·I₂ + 25·I₃ = −10

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 7500

I₁ = Δ₁/Δ = 12750/7500 = 1.7 A

I₂ = Δ₂/Δ = 5850/7500 = 0.78 A

I₃ = Δ₃/Δ = 510/7500 = 0.068 A

答案

I₂ = 0.78 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: V_R2 = 7.588 V

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 4+3 = 7 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 2·7/(2+7) = 1.556 Ω

V_A = 24·1.556/(6+1.556) = 4.941 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 4.941·3/7 = 2.118 V

V_R2′ = V_A − 0 = 4.941 − 0 = 4.941 V

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 6·2/(6+2) = 1.5 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 3 ∥ 5.5 = 1.941 Ω

V_B = I_s·R_eq = 5·1.941 = 9.706 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 9.706·1.5/5.5 = 2.647 V

V_R2″ = V_A − 0 = 2.647 − 0 = 2.647 V

叠加各分量

V_R2 = V_R2′ + V_R2″

V_R2 = 4.941 + 2.647 = 7.588 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

8.叠加定理

答案: V₂ = 36 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 30 ∥ 20 = 12 Ω

V_A = 24·12/(20+12) = 9 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 9·15/20 = 6.75 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₃ = 12 Ω，所以左侧路径为 R₂+12 = 17 Ω

R_eq = R₄ ∥ 17 = 7.969 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −4·7.969 = −31.88 V

V_A = V_B·12/17 = −22.5 V

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 12 Ω

V_A‴ = V₂·12/(15 + 5 + 12) = 0.375·V₂

令 V_A 为零

V_A = 0 时 R₃ 两端没有电压，所以其电流为零。

V_A′ + V_A″ + V_A‴ = 9 + (−22.5) + 0.375·V₂ = 0

V₂ = 13.5/0.375 = 36 V

答案

V₂ = 36 V

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 22.4 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 6·4/(6+4) = 2.4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.4 + 20 = 22.4 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = −61.25 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 15·25/(15+25) = 9.375 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 9.375 + 25 = 34.38 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 7.5 + (−2)·9.375 = −11.25 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −11.25 + (−2)·25 = −61.25 V

11.运放电路

答案: V_out = −1.6 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = −0.8 V

I = V₋/R₁ = −0.8/100 = −0.008 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = −0.8 + (−0.008)·100 = −1.6 V

答案

V_out = −1.6 V

12.运放电路

答案: V_out = 1.03 V

+ 输入端的电压

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1.8·10/(2 + 10) = 1.5 V

叠加两个输入

V₂ = 0 时，V₁ 看到的是反相放大器。V₁ = 0 时，V₊ 被同相增益 1 + R₂/R₁ 放大。

V_out = −(4.7/2)·1.7 + (1 + 4.7/2)·1.5 = −3.995 + 5.025 = 1.03 V

答案

V_out = 1.03 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 1.396 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 10 mH / 33 Ω = 0.303 ms

i(∞) = V_s/R = 12/33 = 0.3636 A

求解时间

0.99 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.99)

t = −0.303·ln(0.01) = 1.396 ms

答案

t = 1.396 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: t = 347.4 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 10 kΩ · 68 µF = 680 ms

v_C(t) = 15 + (30 − 15)·e^−t/τ

求解时间

24 = 15 + (15)·e^−t/τ → e^−t/τ = (24 − 15)/(30 − 15) = 0.6

t = τ·ln((30 − 15)/(24 − 15)) = 680·ln(1.667) = 347.4 ms

答案

t = 347.4 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用，按每伏计

令 VA 为零

答案

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

+ 输入端的电压

叠加两个输入

答案

时间常数和终值电流

求解时间

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

令 V_A 为零

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th