电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 12 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 10 VR₁ = 25 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 3 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

如图所示，节点 A 与地之间连接了三条支路。用节点分析法求支路 1 中沿箭头方向向上流入节点 A 的电流 I₁。

V₁ = 24 VR₁ = 12 ΩV₂ = 9 VR₂ = 3 ΩV₃ = 12 VR₃ = 5 Ω

I₁ = A

4.节点分析困难

菱形符号是一个电压控制电流源，它向上注入节点 B 的电流为 0.1·V_A（单位 A，V_A 单位为 V）。用节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 30 VR₁ = 3 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 8 Ωg = 0.1 A/V

V_B = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 10 VV₂ = 6 VR₁ = 5 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 Ω

I₁ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 12 VV₂ = 5 VR₁ = 3 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 3 Ω

I₁ = A

7.叠加定理中等

一个线性电阻电路含有一个电压源 V_s 和一个电流源 I_s。流过负载电阻的电流 I 测量了两次：V_s = 6 V、I_s = 4 mA 时，I = 6 mA；V_s = 6 V、I_s = 2 mA 时，I = 5.4 mA。求 V_s = 12 V、I_s = 5 mA 时的负载电流 I。

6 V, 4 mA → 6 mA6 V, 2 mA → 5.4 mAV_s = 12 V, I_s = 5 mA

I = mA

8.叠加定理困难

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电压源 V₂ 的值（极性如图所示）。

V₁ = 15 VI_s = 6 AR₁ = 8 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 8 Ω

V₂ = V

9.戴维南和诺顿中等

在 a–b 之间接入负载 R_L = 3 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 ΩR_L = 3 Ω

I_L = A

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 4 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 18 VI_s = 0.5 AR₁ = 25 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 15 ΩR_L = 4 Ω

I_L = A

11.运放电路中等

选择反馈电阻 R_f，使该同相放大器的电压增益为 21。

R₁ = 1 kΩA_v = 21

R_f = kΩ

12.运放电路困难

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。电阻比不匹配。求输出电压 V_out。

V₁ = 0.8 VV₂ = 0.1 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 47 kΩR₃ = 1 kΩR₄ = 1 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 50 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

V_s = 6 VR = 5 ΩL = 100 mHt = 50 ms

W = mJ

14.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R₂ 短路。 t = 0 之后多长时间电感电流达到 0.355 A？求 t。

V_s = 12 VR₁ = 22 ΩR₂ = 22 ΩL = 33 mH

t = ms

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.51 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 3 + 12 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 2·15/(2+15) = 1.765 Ω

R_eq = R₁ + 1.765 = 10 + 1.765 = 11.76 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/11.76 = 0.51 A

答案

I_R1 = 0.51 A

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.3176 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 12 + 3 = 15 Ω

R₄ ∥ 15 = 9.375 Ω

R₃ + 9.375 = 34.38 Ω

R₂ ∥ 34.38 = 6.49 Ω

R_eq = R₁ + 6.49 = 25 + 6.49 = 31.49 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/31.49 = 0.3176 A

答案

I_R1 = 0.3176 A

3.节点分析

答案: I₁ = 1.811 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

取底部导线为地。每条支路从 A 流出的电流为 (V_A − V_k)/R_k，其中 V_k 为该支路电源的电压（纯电阻支路为零）。从 A 流出的电流之和为零。

(V_A − 24)/12 + (V_A − (−9))/3 + (V_A − 12)/5 = 0

求 V_A

V_A = (24/12 + (−9)/3 + 12/5) / (1/12 + 1/3 + 1/5) = 1.4/0.6167 = 2.27 V

支路电流

箭头沿支路向上，指向节点 A。

I₁ = (24 − V_A)/R₁ = (24 − 2.27)/12 = 1.811 A

答案

I₁ = 1.811 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: V_B = 15.3 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻从 A 流出的电流等于电源注入 A 的电流。

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

0.75·V_A − 0.1667·V_B = 10

节点 B 的 KCL

受控源向节点 B 注入 g·V_A。把它当作独立源处理，然后把含 V_A 的项移到左边。

(V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = 0.1·V_A

−0.2667·V_A + 0.2917·V_B = 0

求解

Δ = (0.75)(0.2917) − (−0.1667)(−0.2667) = 0.1743

V_A = Δ₁/Δ = 2.917/0.1743 = 16.73 V

V_B = Δ₂/Δ = 2.667/0.1743 = 15.3 V

答案

V_B = 15.3 V

5.网孔分析

答案: I₁ = 0.5818 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

5·I₁ + 15(I₁ − I₂) = 10

20·I₁ − 15·I₂ = 10

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

10·I₂ + 15(I₂ − I₁) = (−6)

−15·I₁ + 25·I₂ = −6

求解

Δ = (20)(25) − (−15)(−15) = 275

I₁ = Δ₁/Δ = 160/275 = 0.5818 A

I₂ = Δ₂/Δ = 30/275 = 0.1091 A

答案

I₁ = 0.5818 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₁ = 0.9271 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

3·I₁ + 15(I₁ − I₂) = 12

18·I₁ − 15·I₂ = 12

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

20·I₂ + 15(I₂ − I₁) + 3(I₂ − I₃) = 0

−15·I₁ + 38·I₂ − 3·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

3·I₃ + 3(I₃ − I₂) = (−5)

−3·I₂ + 6·I₃ = −5

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 2592

I₁ = Δ₁/Δ = 2403/2592 = 0.9271 A

I₂ = Δ₂/Δ = 810/2592 = 0.3125 A

I₃ = Δ₃/Δ = −1755/2592 = −0.6771 A

答案

I₁ = 0.9271 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I = 11.1 mA

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

把响应写成各贡献之和

每个贡献与其自身的电源成正比，比例常数只与电阻有关。

I = k₁·V_s + k₂·I_s

6·k₁ + 4·k₂ = 6

6·k₁ + 2·k₂ = 5.4

求常数

Δ = (6)(2) − (4)(6) = −12

k₁ = Δ₁/Δ = −9.6/−12 = 0.8

k₂ = Δ₂/Δ = −3.6/−12 = 0.3

k₁ = 0.8 mA/V, k₂ = 0.3

预测新的电流

I = 0.8·12 + 0.3·5 = 11.1 mA

答案

I = 11.1 mA

8.叠加定理

答案: V₂ = 25.5 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 20 ∥ 12 = 7.5 Ω

V_A = 15·7.5/(8+7.5) = 7.258 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 7.258·8/12 = 4.839 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₃ = 5.714 Ω，所以左侧路径为 R₂+5.714 = 9.714 Ω

R_eq = R₄ ∥ 9.714 = 4.387 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −6·4.387 = −26.32 V

V_A = V_B·5.714/9.714 = −15.48 V

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 5.714 Ω

V_A‴ = V₂·5.714/(8 + 4 + 5.714) = 0.3226·V₂

令 V_A 为零

V_A = 0 时 R₃ 两端没有电压，所以其电流为零。

V_A′ + V_A″ + V_A‴ = 7.258 + (−15.48) + 0.3226·V₂ = 0

V₂ = 8.226/0.3226 = 25.5 V

答案

V₂ = 25.5 V

9.戴维南和诺顿

答案: I_L = 1.35 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 4·12/(4+12) = 3 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3 + 4 = 7 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·12/(4+12) = 13.5 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 13.5/(7 + 3) = 1.35 A

10.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.6993 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 25·20/(25+20) = 11.11 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 11.11 + 15 = 26.11 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 8 + 0.5·11.11 = 13.56 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 13.56 + 0.5·15 = 21.06 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 21.06/(26.11 + 4) = 0.6993 A

11.运放电路

答案: R_f = 20 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = V_in，且流过 R₁ 的电流也流过 R_f，所以 V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (21 − 1)·1 = 20 kΩ

答案

R_f = 20 kΩ

12.运放电路

答案: V_out = −7.45 V

+ 输入端的电压

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 0.1·1/(1 + 1) = 0.05 V

叠加两个输入

V₂ = 0 时，V₁ 看到的是反相放大器。V₁ = 0 时，V₊ 被同相增益 1 + R₂/R₁ 放大。

V_out = −(47/4.7)·0.8 + (1 + 47/4.7)·0.05 = −8 + 0.55 = −7.45 V

答案

V_out = −7.45 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: W = 60.66 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 5 Ω = 20 ms

i(∞) = V_s/R = 6/5 = 1.2 A

给定时刻的电流

i(t) = 1.2·(1 − e^−50/20) = 1.101 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·100·1.101² = 60.66 mJ

答案

W = 60.66 mJ

14.RC 和 RL 暂态

答案: t = 0.5386 ms

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 12/(22 + 22) = 0.2727 A

i(∞) = 12/22 = 0.5455 A

τ = L/R = 33/22 = 1.5 ms

i(t) = 0.5455 + (0.2727 − 0.5455)·e^−t/τ

求解时间

e^−t/τ = (0.355 − 0.5455)/(0.2727 − 0.5455) = 0.6983

t = 1.5·ln(1.432) = 0.5386 ms

答案

t = 0.5386 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

节点 A 的 KCL

求 VA

支路电流

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

把响应写成各贡献之和

求常数

预测新的电流

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用，按每伏计

令 VA 为零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

同相放大器的增益

答案

+ 输入端的电压

叠加两个输入

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

储存的能量

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

求 V_A

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

令 V_A 为零

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th