电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 5 VR₁ = 30 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 30 Ω

I_R2 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求电流源 I_s 输出的功率 P_Is。

V₁ = 10 VI_s = 2.5 AR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 3 Ω

P_Is = W

4.节点分析困难

用节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 36 VI_s = 1.5 AV₂ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 5 Ω

V_A = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 12 VV₂ = 30 VR₁ = 3 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 5 Ω

I₁ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 18 VV₂ = 12 VR₁ = 5 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 25 Ω

I₁ = A

7.叠加定理中等

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电流源 I_s 的值（方向如图所示）。

V₁ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 8 Ω

I_s = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 9 VI_s = 2 AV₂ = 24 VR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 24 VI_s = 5 AR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 8 Ω

I_N = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源；其输出饱和电压为 ±13 V。反相放大器由正弦波驱动。求输出不削波时的最大输入幅值 V_in,max（峰值）。

R₁ = 4.7 kΩR_f = 100 kΩV_sat = ±13 V

V_in,max = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = 1.3 VV₂ = 0.1 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 22 kΩR_f = 4.7 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 2 ms 时的电流 i。

V_s = 9 VR = 20 ΩL = 33 mHt = 2 ms

i = A

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 2 V，极性如图所示。求 t = 120 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 24 VR = 1 kΩC = 47 µFv_C(0) = 2 Vt = 120 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.1595 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 10 + 4 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 20·14/(20+14) = 8.235 Ω

R_eq = R₁ + 8.235 = 15 + 8.235 = 23.24 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/23.24 = 0.3873 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0.3873·15 = 3.19 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3.19/20 = 0.1595 A

答案

I_R2 = 0.1595 A

2.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.06914 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 4 + 30 = 34 Ω

R₄ ∥ 34 = 1.889 Ω

R₃ + 1.889 = 26.89 Ω

R₂ ∥ 26.89 = 11.47 Ω

R_eq = R₁ + 11.47 = 30 + 11.47 = 41.47 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 5/41.47 = 0.1206 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0.1206·30 = 1.383 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1.383/20 = 0.06914 A

答案

I_R2 = 0.06914 A

3.节点分析

答案: P_Is = 18.75 W

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/12 + (V_A − 10)/4 + (V_A − V_B)/15 = 0

0.4·V_A − 0.06667·V_B = 2.5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/3 + (V_B − V_A)/15 = 2.5

−0.06667·V_A + 0.4·V_B = 2.5

求解

Δ = (0.4)(0.4) − (−0.06667)(−0.06667) = 0.1556

V_A = Δ₁/Δ = 1.167/0.1556 = 7.5 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.167/0.1556 = 7.5 V

电流源输出的功率

电源把 Iₛ 从地（0 V）向上注入节点 B，即升到 V_B。电流从其 + 端流出的电源输出功率 P = V·I。

P_Is = V_B·I_s = 7.5·2.5 = 18.75 W

答案

P_Is = 18.75 W

4.节点分析

答案: V_A = 15.99 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 36 V, V₂ = 30 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/6 + (V_A − 36)/8 + (V_A − V_B)/8 = 0

0.4167·V_A − 0.125·V_B = 4.5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/5 + (V_B − V_A)/8 + (V_B − 30)/6 = 1.5

−0.125·V_A + 0.4917·V_B = 6.5

求解

Δ = (0.4167)(0.4917) − (−0.125)(−0.125) = 0.1892

V_A = Δ₁/Δ = 3.025/0.1892 = 15.99 V

V_B = Δ₂/Δ = 3.271/0.1892 = 17.28 V

答案

V_A = 15.99 V

5.网孔分析

答案: I₁ = 0.3158 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

3·I₁ + 5(I₁ − I₂) = 12

8·I₁ − 5·I₂ = 12

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

10·I₂ + 5(I₂ − I₁) = (−30)

−5·I₁ + 15·I₂ = −30

求解

Δ = (8)(15) − (−5)(−5) = 95

I₁ = Δ₁/Δ = 30/95 = 0.3158 A

I₂ = Δ₂/Δ = −180/95 = −1.895 A

答案

I₁ = 0.3158 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₁ = 2.01 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

5·I₁ + 4(I₁ − I₂) = 18

9·I₁ − 4·I₂ = 18

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

10·I₂ + 4(I₂ − I₁) + 25(I₂ − I₃) = 0

−4·I₁ + 39·I₂ − 25·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

15·I₃ + 25(I₃ − I₂) = (−12)

−25·I₂ + 40·I₃ = −12

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 7775

I₁ = Δ₁/Δ = 15630/7775 = 2.01 A

I₂ = Δ₂/Δ = 180/7775 = 0.02315 A

I₃ = Δ₃/Δ = −2220/7775 = −0.2855 A

答案

I₁ = 2.01 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_s = 1.071 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 2+8 = 10 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 4·10/(4+10) = 2.857 Ω

V_A = 30·2.857/(10+2.857) = 6.667 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 6.667·8/10 = 5.333 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (6.667 − 5.333)/2 = 0.6667 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，所以 R₁ ∥ R₂ 接在 A 与地之间。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和支路 R₃ + R₁∥R₂；流过 R₃ 的部分从 B 流向 A，与箭头方向相反。

R₁ ∥ R₂ = 2.857 Ω

I_R3″ = −I_s·R₄/(R₄ + R₃ + R₁∥R₂) = −I_s·8/12.86 = −0.6222·I_s

令总和为零

I_R3′ + I_R3″ = 0.6667 − 0.6222·I_s = 0

I_s = 0.6667/0.6222 = 1.071 A

答案

I_s = 1.071 A

8.叠加定理

答案: I_R2 = 2.077 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 20 ∥ 22 = 10.48 Ω

V_A = 9·10.48/(8+10.48) = 5.103 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 5.103·20/22 = 4.639 V

I_R2′ = (V_B − V_A)/R₂ = (4.639 − 5.103)/2 = −0.232 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 5.714 Ω，所以左侧路径为 R₂+5.714 = 7.714 Ω

R_eq = R₄ ∥ 7.714 = 5.567 Ω

V_B = I_s·R_eq = 2·5.567 = 11.13 V

V_A = V_B·5.714/7.714 = 8.247 V

I_R2″ = (V_B − V_A)/R₂ = (11.13 − 8.247)/2 = 1.443 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 8·20/(8+20) = 5.714 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 24·7.714/27.71 = 6.68 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 6.68·5.714/7.714 = 4.948 V

I_R2‴ = (V_B − V_A)/R₂ = (6.68 − 4.948)/2 = 0.866 A

叠加各分量

I_R2 = I_R2′ + I_R2″ + I_R2‴

I_R2 = (−0.232) + 1.443 + 0.866 = 2.077 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 9.455 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·12/(10+12) = 5.455 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5.455 + 4 = 9.455 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: I_N = 5.857 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·8/(10+8) = 4.444 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.444 + 8 = 12.44 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 10.67 + 5·4.444 = 32.89 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 32.89 + 5·8 = 72.89 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 72.89/12.44 = 5.857 A

11.运放电路

答案: V_in,max = 0.611 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

增益

|A_v| = R_f/R₁ = 100/4.7 = 21.28

削波前的最大输入

V_in,max = V_sat/|A_v| = 13/21.28 = 0.611 V

答案

V_in,max = 0.611 V

12.运放电路

答案: V_out = −1.321 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 1.3/4.7 = 0.2766 mA

I₂ = V₂/R₂ = 0.1/22 = 0.004545 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.2811 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −4.7·0.2811 = −1.321 V

答案

V_out = −1.321 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.3161 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 33 mH / 20 Ω = 1.65 ms

i(∞) = V_s/R = 9/20 = 0.45 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.45·(1 − e^−2/1.65) = 0.3161 A

答案

i = 0.3161 A

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 22.29 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 1 kΩ · 47 µF = 47 ms

v_C(t) = 24 + (2 − 24)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(120) = 24 + (−22)·e^−120/47 = 22.29 V

答案

v_C = 22.29 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

电流源输出的功率

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

令总和为零

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

增益

削波前的最大输入

答案

输入电流

输出电压

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电压

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th