电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 15 VR₁ = 2 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 25 Ω

I_R2 = A

3.节点分析中等

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 V_B − V_A = Vₛ。用含超节点的节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

I_s = 2.5 AV_s = 4 VR₁ = 15 ΩR₂ = 10 Ω

V_A = V

4.节点分析困难

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 A，所以它使 V_A − V_B = Vₛ。用含超节点的节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 12 VI_s = 6 AV_s = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 4 Ω

V_B = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 18 VV₂ = 12 VR₁ = 12 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 Ω

I_R2 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 6 VV₂ = 15 VR₁ = 30 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 2 Ω

I_R2 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₃ 吸收的功率 P_R3。

V₁ = 6 VI_s = 2 AR₁ = 8 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 8 Ω

P_R3 = W

8.叠加定理困难

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电压源 V₂ 的值（极性如图所示）。

V₁ = 10 VI_s = 6 AR₁ = 5 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 5 Ω

V₂ = V

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 9 VR₁ = 8 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 Ω

V_th = V

10.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 10 VI_s = 4 AR₁ = 10 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 30 Ω

I_N = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = −1.7 VR₁ = 47 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±13 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = 1.1 V 时，电容未充电。求 t = 50 ms 时的输出电压 V_out。

V_in = 1.1 VR = 2.2 kΩC = 2.2 µFV_sat = ±13 Vt = 50 ms

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 5 ms 时的电流 i。

V_s = 24 VR = 20 ΩL = 68 mHt = 5 ms

i = A

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 8 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 9.6 V？求 t。

V_s = 10 VR = 3.3 kΩC = 220 µFv_C(0) = 8 V

t = ms

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.2171 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 6 + 8 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 15·14/(15+14) = 7.241 Ω

R_eq = R₁ + 7.241 = 15 + 7.241 = 22.24 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/22.24 = 0.4496 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0.4496·15 = 3.256 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3.256/15 = 0.2171 A

答案

I_R2 = 0.2171 A

2.串并联电阻

答案: I_R2 = 1.124 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 30 + 25 = 55 Ω

R₄ ∥ 55 = 2.845 Ω

R₃ + 2.845 = 14.84 Ω

R₂ ∥ 14.84 = 5.975 Ω

R_eq = R₁ + 5.975 = 2 + 5.975 = 7.975 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/7.975 = 1.881 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1.881·2 = 11.24 V

I_R2 = V_A/R₂ = 11.24/10 = 1.124 A

答案

I_R2 = 1.124 A

3.节点分析

答案: V_A = 12.6 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A + V_s = V_A + 4

V_A/R₁ + V_B/R₂ = I_s

求解

V_A/15 + (V_A + 4)/10 = 2.5

V_A = (2.5 − 4/10)/(1/15 + 1/10) = 12.6 V

V_B = 12.6 + 4 = 16.6 V

答案

V_A = 12.6 V

4.节点分析

答案: V_B = 12.3 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A − 9

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + V_B/R₃ = I_s

求解

(V_A − 12)/5 + V_A/20 + (V_A − 9)/4 = 6

V_A·(1/5 + 1/20 + 1/4) = 6 + 12/5 + 9/4 = 10.65

V_A = 10.65/0.5 = 21.3 V

V_B = 12.3 V

答案

V_B = 12.3 V

5.网孔分析

答案: I_R2 = −0.5 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

12·I₁ + 6(I₁ − I₂) = 18

18·I₁ − 6·I₂ = 18

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

8·I₂ + 6(I₂ − I₁) = (−12)

−6·I₁ + 14·I₂ = −12

求解

Δ = (18)(14) − (−6)(−6) = 216

I₁ = Δ₁/Δ = 180/216 = 0.8333 A

I₂ = Δ₂/Δ = −108/216 = −0.5 A

答案

I_R2 = I₂ = −0.5 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R2 = −0.144 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

30·I₁ + 12(I₁ − I₂) = 6

42·I₁ − 12·I₂ = 6

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

20·I₂ + 12(I₂ − I₁) + 2(I₂ − I₃) = 0

−12·I₁ + 34·I₂ − 2·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

3·I₃ + 2(I₃ − I₂) = (−15)

−2·I₂ + 5·I₃ = −15

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 6252

I₁ = Δ₁/Δ = 636/6252 = 0.1017 A

I₂ = Δ₂/Δ = −900/6252 = −0.144 A

I₃ = Δ₃/Δ = −19116/6252 = −3.058 A

答案

I_R2 = I₂ = −0.144 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: P_R3 = 3.333 W

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 2+8 = 10 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 20·10/(20+10) = 6.667 Ω

V_A = 6·6.667/(8+6.667) = 2.727 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 2.727·8/10 = 2.182 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (2.727 − 2.182)/2 = 0.2727 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₂ = 8·20/(8+20) = 5.714 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 8 ∥ 7.714 = 3.927 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −2·3.927 = −7.855 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = −7.855·5.714/7.714 = −5.818 V

I_R3″ = (V_A − V_B)/R₃ = (−5.818 − −7.855)/2 = 1.018 A

把电流的各个贡献相加

I_R3 = I_R3′ + I_R3″ = 0.2727 + 1.018 = 1.291 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R3 = I_R3²·R₃ = 1.291²·2 = 3.333 W

答案

P_R3 = 3.333 W

把各单独情况下的功率相加会得到 2.222 W，这是错误的。

8.叠加定理

答案: V₂ = 12 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 15 ∥ 9 = 5.625 Ω

V_A = 10·5.625/(5+5.625) = 5.294 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 5.294·5/9 = 2.941 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₃ = 3.75 Ω，所以左侧路径为 R₂+3.75 = 7.75 Ω

R_eq = R₄ ∥ 7.75 = 3.039 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −6·3.039 = −18.24 V

V_A = V_B·3.75/7.75 = −8.824 V

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 3.75 Ω

V_A‴ = V₂·3.75/(5 + 4 + 3.75) = 0.2941·V₂

令 V_A 为零

V_A = 0 时 R₃ 两端没有电压，所以其电流为零。

V_A′ + V_A″ + V_A‴ = 5.294 + (−8.824) + 0.2941·V₂ = 0

V₂ = 3.529/0.2941 = 12 V

答案

V₂ = 12 V

9.戴维南和诺顿

答案: V_th = 3.857 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 8·6/(8+6) = 3.429 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.429 + 15 = 18.43 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 9·6/(8+6) = 3.857 V

10.戴维南和诺顿

答案: I_N = 4.111 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·6/(10+6) = 3.75 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.75 + 30 = 33.75 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 3.75 + 4·3.75 = 18.75 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 18.75 + 4·30 = 138.7 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 138.7/33.75 = 4.111 A

11.运放电路

答案: V_out = −3.4 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = −1.7 V

I = V₋/R₁ = −1.7/47 = −0.03617 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = −1.7 + (−0.03617)·47 = −3.4 V

答案

V_out = −3.4 V

12.运放电路

答案: V_out = −11.36 V

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 2.2 kΩ · 2.2 µF = 4.84 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −1.1/4.84 = −0.2273 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±V_sat 以内，所以积分器尚未限幅。

V_out = −V_in·t/(RC) = −1.1·50/4.84 = −11.36 V

答案

V_out = −11.36 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.9243 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 20 Ω = 3.4 ms

i(∞) = V_s/R = 24/20 = 1.2 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 1.2·(1 − e^−5/3.4) = 0.9243 A

答案

i = 0.9243 A

14.RC 和 RL 暂态

答案: t = 1168 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 3.3 kΩ · 220 µF = 726 ms

v_C(t) = 10 + (8 − 10)·e^−t/τ

求解时间

9.6 = 10 + (−2)·e^−t/τ → e^−t/τ = (9.6 − 10)/(8 − 10) = 0.2

t = τ·ln((8 − 10)/(9.6 − 10)) = 726·ln(5) = 1168 ms

答案

t = 1168 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

构成超节点

求解

答案

构成超节点

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用，按每伏计

令 VA 为零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

输入电流和斜坡速率

给定时刻的输出

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

令 V_A 为零

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

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