电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 12 VR₁ = 5 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 15 VI_s = 2.5 AR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 6 Ω

I_R3 = A

4.节点分析困难

用节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 30 VI_s = 1 AV₂ = 36 VR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 4 Ω

V_A = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 15 VV₂ = 18 VR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 Ω

I₁ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求 R₁ 两端按图示极性的电压 V_R1。

V₁ = 30 VV₂ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 25 Ω

V_R1 = V

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 30 VI_s = 4 AR₁ = 10 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 12 Ω

I_R3 = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₄ 的电流 I_R4。

V₁ = 15 VI_s = 1.5 AV₂ = 18 VR₁ = 30 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 8 Ω

I_R4 = A

9.戴维南和诺顿中等

在 a–b 之间接入负载 R_L = 12 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 2 ΩR_L = 12 Ω

I_L = A

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 36 VI_s = 4 AR₁ = 25 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源；其输出饱和电压为 ±12 V。反相放大器由正弦波驱动。求输出不削波时的最大输入幅值 V_in,max（峰值）。

R₁ = 10 kΩR_f = 100 kΩV_sat = ±12 V

V_in,max = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = −1.4 VV₂ = 0.8 VR₁ = 47 kΩR₂ = 4.7 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。开关在 t = 0 闭合时电容未充电。求 t = 200 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 24 VR₁ = 10 kΩR₂ = 10 kΩC = 47 µFt = 200 ms

v_C = V

14.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 15 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 9.48 V 时它必须触发，恰好在开始后 100 ms。已知 R = 100 kΩ，求所需的电容 C。

V_s = 15 VV_th = 9.48 VT = 100 msR = 100 kΩ

C = µF

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 12.57 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 6 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 3·18/(3+18) = 2.571 Ω

R_eq = R₁ + 2.571 = 10 + 2.571 = 12.57 Ω

答案

R_eq = 12.57 Ω

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.103 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 30 + 2 = 32 Ω

R₄ ∥ 32 = 10.21 Ω

R₃ + 10.21 = 22.21 Ω

R₂ ∥ 22.21 = 5.882 Ω

R_eq = R₁ + 5.882 = 5 + 5.882 = 10.88 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 12/10.88 = 1.103 A

答案

I_R1 = 1.103 A

3.节点分析

答案: I_R3 = −0.4839 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 15 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/3 + (V_A − 15)/4 + (V_A − V_B)/10 = 0

0.6833·V_A − 0.1·V_B = 3.75

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/6 + (V_B − V_A)/10 = 2.5

−0.1·V_A + 0.2667·V_B = 2.5

求解

Δ = (0.6833)(0.2667) − (−0.1)(−0.1) = 0.1722

V_A = Δ₁/Δ = 1.25/0.1722 = 7.258 V

V_B = Δ₂/Δ = 2.083/0.1722 = 12.1 V

答案

I_R3 = (V_A − V_B)/R₃ = (7.258 − 12.1)/10 = −0.4839 A

4.节点分析

答案: V_A = 20.75 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 30 V, V₂ = 36 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/12 + (V_A − 30)/4 + (V_A − V_B)/12 = 0

0.4167·V_A − 0.08333·V_B = 7.5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/4 + (V_B − V_A)/12 + (V_B − 36)/12 = 1

−0.08333·V_A + 0.4167·V_B = 4

求解

Δ = (0.4167)(0.4167) − (−0.08333)(−0.08333) = 0.1667

V_A = Δ₁/Δ = 3.458/0.1667 = 20.75 V

V_B = Δ₂/Δ = 2.292/0.1667 = 13.75 V

答案

V_A = 20.75 V

5.网孔分析

答案: I₁ = 0.1304 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

15·I₁ + 5(I₁ − I₂) = 15

20·I₁ − 5·I₂ = 15

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

2·I₂ + 5(I₂ − I₁) = (−18)

−5·I₁ + 7·I₂ = −18

求解

Δ = (20)(7) − (−5)(−5) = 115

I₁ = Δ₁/Δ = 15/115 = 0.1304 A

I₂ = Δ₂/Δ = −285/115 = −2.478 A

答案

I₁ = 0.1304 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: V_R1 = 22.21 V

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

15·I₁ + 5(I₁ − I₂) = 30

20·I₁ − 5·I₂ = 30

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

12·I₂ + 5(I₂ − I₁) + 25(I₂ − I₃) = 0

−5·I₁ + 42·I₂ − 25·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

3·I₃ + 25(I₃ − I₂) = (−10)

−25·I₂ + 28·I₃ = −10

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 10320

I₁ = Δ₁/Δ = 15280/10320 = 1.481 A

I₂ = Δ₂/Δ = −800/10320 = −0.07752 A

I₃ = Δ₃/Δ = −4400/10320 = −0.4264 A

答案

I_R1 = I₁ = 1.481 A

V_R1 = I_R1·R₁ = 1.481·15 = 22.21 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R3 = 2.695 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 6+12 = 18 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 2·18/(2+18) = 1.8 Ω

V_A = 30·1.8/(10+1.8) = 4.576 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 4.576·12/18 = 3.051 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (4.576 − 3.051)/6 = 0.2542 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 10·2/(10+2) = 1.667 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 12 ∥ 7.667 = 4.678 Ω

V_B = I_s·R_eq = (−4)·4.678 = −18.71 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = −18.71·1.667/7.667 = −4.068 V

I_R3″ = (V_A − V_B)/R₃ = (−4.068 − −18.71)/6 = 2.441 A

叠加各分量

I_R3 = I_R3′ + I_R3″

I_R3 = 0.2542 + 2.441 = 2.695 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: I_R4 = −1.542 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 15 ∥ 14 = 7.241 Ω

V_A = 15·7.241/(30+7.241) = 2.917 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 2.917·8/14 = 1.667 V

I_R4′ = (V_B − V₂)/R₄ = (1.667 − 0)/8 = 0.2083 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 10 Ω，所以左侧路径为 R₂+10 = 16 Ω

R_eq = R₄ ∥ 16 = 5.333 Ω

V_B = I_s·R_eq = (−1.5)·5.333 = −8 V

V_A = V_B·10/16 = −5 V

I_R4″ = (V_B − V₂)/R₄ = (−8 − 0)/8 = −1 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 30·15/(30+15) = 10 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 18·16/24 = 12 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 12·10/16 = 7.5 V

I_R4‴ = (V_B − V₂)/R₄ = (12 − 18)/8 = −0.75 A

叠加各分量

I_R4 = I_R4′ + I_R4″ + I_R4‴

I_R4 = 0.2083 + (−1) + (−0.75) = −1.542 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.5161 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 15·12/(15+12) = 6.667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6.667 + 2 = 8.667 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·12/(15+12) = 10.67 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 10.67/(8.667 + 12) = 0.5161 A

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = 42.67 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 25·5/(25+5) = 4.167 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.167 + 5 = 9.167 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 6 + 4·4.167 = 22.67 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 22.67 + 4·5 = 42.67 V

11.运放电路

答案: V_in,max = 1.2 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

增益

|A_v| = R_f/R₁ = 100/10 = 10

削波前的最大输入

V_in,max = V_sat/|A_v| = 12/10 = 1.2 V

答案

V_in,max = 1.2 V

12.运放电路

答案: V_out = −6.6 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = −1.4/47 = −0.02979 mA

I₂ = V₂/R₂ = 0.8/4.7 = 0.1702 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.1404 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −47·0.1404 = −6.6 V

答案

V_out = −6.6 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 6.876 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 R_th；把电容断开，求它最终稳定的电压。

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·10/(10 + 10) = 5 kΩ

v_C(∞) = 24·10/(10 + 10) = 12 V

时间常数

τ = R_th·C = 5·47 = 235 ms

充电曲线

v_C(t) = 12·(1 − e^−200/235) = 6.876 V

答案

v_C = 6.876 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: C = 1 µF

所需的时间常数

9.48 = 15·(1 − e^−100/τ) → τ = 100/ln(15/(15 − 9.48))

τ = 100/0.9997 = 100 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 100/100 = 1 µF

答案

C = 1 µF

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

增益

削波前的最大输入

答案

输入电流

输出电压

答案

电容看到的戴维南等效电路

时间常数

充电曲线

答案

所需的时间常数

电容

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th