电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 6 VR₁ = 30 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 20 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 24 VI_s = 2.5 AR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 10 VI_s = 3 AV₂ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 25 Ω

I_R1 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求 R₁ 两端按图示极性的电压 V_R1。

V₁ = 10 VV₂ = 10 VR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 5 Ω

V_R1 = V

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 30 VV₂ = 36 VR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 8 Ω

I₂ = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 18 VI_s = 4 AR₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 10 VI_s = 2.5 AV₂ = 5 VR₁ = 25 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 8 Ω

V_R2 = V

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 6 VI_s = 5 AR₁ = 10 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源；其输出饱和电压为 ±13 V。同相放大器由正弦波驱动。求输出不削波时的最大输入幅值 V_in,max（峰值）。

R₁ = 1 kΩR_f = 22 kΩV_sat = ±13 V

V_in,max = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = 1.2 VV₂ = 0.1 VR₁ = 2 kΩR₂ = 10 kΩR_f = 1 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时电感两端的电压 v_L。

V_s = 5 VR = 15 ΩL = 22 mHt = 1 ms

v_L = V

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 20 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 17 V？求 t。

V_s = 15 VR = 6.8 kΩC = 100 µFv_C(0) = 20 V

t = ms

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 2.143 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 5 + 5 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 15·10/(15+10) = 6 Ω

R_eq = R₁ + 6 = 8 + 6 = 14 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/14 = 2.143 A

答案

I_R1 = 2.143 A

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.1767 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 12 + 20 = 32 Ω

R₄ ∥ 32 = 3.556 Ω

R₃ + 3.556 = 11.56 Ω

R₂ ∥ 11.56 = 3.949 Ω

R_eq = R₁ + 3.949 = 30 + 3.949 = 33.95 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/33.95 = 0.1767 A

答案

I_R1 = 0.1767 A

3.节点分析

答案: I_R1 = 0.7714 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 24 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/6 + (V_A − 24)/20 + (V_A − V_B)/15 = 0

0.2833·V_A − 0.06667·V_B = 1.2

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/10 + (V_B − V_A)/15 = 2.5

−0.06667·V_A + 0.1667·V_B = 2.5

求解

Δ = (0.2833)(0.1667) − (−0.06667)(−0.06667) = 0.04278

V_A = Δ₁/Δ = 0.3667/0.04278 = 8.571 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.7883/0.04278 = 18.43 V

答案

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (24 − 8.571)/20 = 0.7714 A

4.节点分析

答案: I_R1 = 0.272 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 10 V, V₂ = 12 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/6 + (V_A − 10)/10 + (V_A − V_B)/12 = 0

0.35·V_A − 0.08333·V_B = 1

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/25 + (V_B − V_A)/12 + (V_B − 12)/5 = 3

−0.08333·V_A + 0.3233·V_B = 5.4

求解

Δ = (0.35)(0.3233) − (−0.08333)(−0.08333) = 0.1062

V_A = Δ₁/Δ = 0.7733/0.1062 = 7.28 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.973/0.1062 = 18.58 V

答案

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (10 − 7.28)/10 = 0.272 A

5.网孔分析

答案: V_R1 = 3.75 V

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

12·I₁ + 5(I₁ − I₂) = 10

17·I₁ − 5·I₂ = 10

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

4·I₂ + 5(I₂ − I₁) = (−10)

−5·I₁ + 9·I₂ = −10

求解

Δ = (17)(9) − (−5)(−5) = 128

I₁ = Δ₁/Δ = 40/128 = 0.3125 A

I₂ = Δ₂/Δ = −120/128 = −0.9375 A

答案

I_R1 = I₁ = 0.3125 A

V_R1 = I_R1·R₁ = 0.3125·12 = 3.75 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₂ = 0.217 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

12·I₁ + 30(I₁ − I₂) = 30

42·I₁ − 30·I₂ = 30

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

12·I₂ + 30(I₂ − I₁) + 8(I₂ − I₃) = 0

−30·I₁ + 50·I₂ − 8·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

10·I₃ + 8(I₃ − I₂) = (−36)

−8·I₂ + 18·I₃ = −36

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 18912

I₁ = Δ₁/Δ = 16440/18912 = 0.8693 A

I₂ = Δ₂/Δ = 4104/18912 = 0.217 A

I₃ = Δ₃/Δ = −36000/18912 = −1.904 A

答案

I₂ = 0.217 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R2 = −0.6947 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 12+3 = 15 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 20·15/(20+15) = 8.571 Ω

V_A = 18·8.571/(5+8.571) = 11.37 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 11.37·3/15 = 2.274 V

I_R2′ = (0 − V_A)/R₂ = (0 − 11.37)/20 = −0.5684 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 5·20/(5+20) = 4 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 3 ∥ 16 = 2.526 Ω

V_B = I_s·R_eq = 4·2.526 = 10.11 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 10.11·4/16 = 2.526 V

I_R2″ = (0 − V_A)/R₂ = (0 − 2.526)/20 = −0.1263 A

叠加各分量

I_R2 = I_R2′ + I_R2″

I_R2 = (−0.5684) + (−0.1263) = −0.6947 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: V_R2 = 3.547 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 15 ∥ 16 = 7.742 Ω

V_A = 10·7.742/(25+7.742) = 2.365 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 2.365·8/16 = 1.182 V

V_R2′ = V_B − V_A = 1.182 − 2.365 = −1.182 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 9.375 Ω，所以左侧路径为 R₂+9.375 = 17.38 Ω

R_eq = R₄ ∥ 17.38 = 5.478 Ω

V_B = I_s·R_eq = 2.5·5.478 = 13.69 V

V_A = V_B·9.375/17.38 = 7.389 V

V_R2″ = V_B − V_A = 13.69 − 7.389 = 6.305 V

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 25·15/(25+15) = 9.375 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = (−5)·17.38/25.38 = −3.424 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = −3.424·9.375/17.38 = −1.847 V

V_R2‴ = V_B − V_A = −3.424 − −1.847 = −1.576 V

叠加各分量

V_R2 = V_R2′ + V_R2″ + V_R2‴

V_R2 = (−1.182) + 6.305 + (−1.576) = 3.547 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 16.67 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 2·10/(2+10) = 1.667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.667 + 15 = 16.67 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = 69.33 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·2/(10+2) = 1.667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.667 + 12 = 13.67 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 1 + 5·1.667 = 9.333 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 9.333 + 5·12 = 69.33 V

11.运放电路

答案: V_in,max = 0.5652 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

增益

A_v = 1 + R_f/R₁ = 1 + 22/1 = 23

削波前的最大输入

V_in,max = V_sat/|A_v| = 13/23 = 0.5652 V

答案

V_in,max = 0.5652 V

12.运放电路

答案: V_out = −0.61 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 1.2/2 = 0.6 mA

I₂ = V₂/R₂ = 0.1/10 = 0.01 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.61 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −1·0.61 = −0.61 V

答案

V_out = −0.61 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_L = 2.528 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 15 Ω = 1.467 ms

i(∞) = V_s/R = 5/15 = 0.3333 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 5·e^−1/1.467 = 2.528 V

答案

v_L = 2.528 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: t = 623.1 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 6.8 kΩ · 100 µF = 680 ms

v_C(t) = 15 + (20 − 15)·e^−t/τ

求解时间

17 = 15 + (5)·e^−t/τ → e^−t/τ = (17 − 15)/(20 − 15) = 0.4

t = τ·ln((20 − 15)/(17 − 15)) = 680·ln(2.5) = 623.1 ms

答案

t = 623.1 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

增益

削波前的最大输入

答案

输入电流

输出电压

答案

时间常数和终值电流

电感电压

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th