电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 10 VR₁ = 8 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 36 VR₁ = 2 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 10 VI_s = 4 AR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 15 Ω

V_A = V

4.节点分析困难

调节电流源，使节点 A 的电压为 V_A = 7 V。用节点分析法求电源电流 I_s（方向如图所示）。

V₁ = 6 VR₁ = 3 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 30 ΩV_A = 7 V

I_s = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 12 VV₂ = 15 VR₁ = 3 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 8 Ω

I₁ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₄ 的电流 I_R4。

V₁ = 36 VV₂ = 5 VR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 10 Ω

I_R4 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₄ 两端按图示极性的电压 V_R4。

V₁ = 15 VI_s = 1 AR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 15 Ω

V_R4 = V

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₃ 吸收的功率 P_R3。

V₁ = 15 VI_s = 3 AV₂ = 36 VR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 3 Ω

P_R3 = W

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 Ω

V_th = V

10.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 10 VI_s = 3 AR₁ = 8 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 8 Ω

I_N = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = −1.4 VR₁ = 100 kΩR_f = 100 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±12 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = 2.7 V 时，电容未充电。求 t = 0.5 ms 时的输出电压 V_out。

V_in = 2.7 VR = 2.2 kΩC = 0.1 µFV_sat = ±12 Vt = 0.5 ms

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时的电流 i。

V_s = 15 VR = 68 ΩL = 47 mHt = 1 ms

i = A

14.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 300 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 9 VR₁ = 6.8 kΩR₂ = 10 kΩC = 33 µFt = 300 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.3571 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 12 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 15·24/(15+24) = 9.231 Ω

R_eq = R₁ + 9.231 = 8 + 9.231 = 17.23 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/17.23 = 0.5804 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0.5804·8 = 5.357 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5.357/15 = 0.3571 A

答案

I_R2 = 0.3571 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 9.124 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 20 + 8 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 9.767 Ω

R₃ + 9.767 = 24.77 Ω

R₂ ∥ 24.77 = 7.124 Ω

R_eq = R₁ + 7.124 = 2 + 7.124 = 9.124 Ω

答案

R_eq = 9.124 Ω

3.节点分析

答案: V_A = −2.239 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 10 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/15 + (V_A − 10)/4 + (V_A − V_B)/3 = 0

0.65·V_A − 0.3333·V_B = 2.5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/15 + (V_B − V_A)/3 = (−4)

−0.3333·V_A + 0.4·V_B = −4

求解

Δ = (0.65)(0.4) − (−0.3333)(−0.3333) = 0.1489

V_A = Δ₁/Δ = −0.3333/0.1489 = −2.239 V

V_B = Δ₂/Δ = −1.767/0.1489 = −11.87 V

答案

V_A = −2.239 V

4.节点分析

答案: I_s = 2.3 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

V_A 已知，所以这个方程给出 V_B。

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

(7 − 6)/3 + 7/10 = (V_B − 7)/30

1.033 = (V_B − 7)/30 → V_B = 38 V

节点 B 的 KCL

经电阻从 B 流出的电流等于电源注入 B 的电流。

I_s = (V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = (38 − 7)/30 + 38/30 = 2.3 A

答案

I_s = 2.3 A

5.网孔分析

答案: I₁ = 0.8852 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

3·I₁ + 8(I₁ − I₂) = 12

11·I₁ − 8·I₂ = 12

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

20·I₂ + 8(I₂ − I₁) = (−15)

−8·I₁ + 28·I₂ = −15

求解

Δ = (11)(28) − (−8)(−8) = 244

I₁ = Δ₁/Δ = 216/244 = 0.8852 A

I₂ = Δ₂/Δ = −69/244 = −0.2828 A

答案

I₁ = 0.8852 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R4 = 0.695 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

12·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 36

32·I₁ − 20·I₂ = 36

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

4·I₂ + 20(I₂ − I₁) + 10(I₂ − I₃) = 0

−20·I₁ + 34·I₂ − 10·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

20·I₃ + 10(I₃ − I₂) = (−5)

−10·I₂ + 30·I₃ = −5

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 17440

I₁ = Δ₁/Δ = 32120/17440 = 1.842 A

I₂ = Δ₂/Δ = 20000/17440 = 1.147 A

I₃ = Δ₃/Δ = 3760/17440 = 0.2156 A

答案

I_R4 = I₁ − I₂ = 0.695 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: V_R4 = −8.919 V

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 10+15 = 25 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 2·25/(2+25) = 1.852 Ω

V_A = 15·1.852/(5+1.852) = 4.054 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 4.054·15/25 = 2.432 V

V_R4′ = 0 − V_B = 0 − 2.432 = −2.432 V

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 5·2/(5+2) = 1.429 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 15 ∥ 11.43 = 6.486 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1·6.486 = 6.486 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 6.486·1.429/11.43 = 0.8108 V

V_R4″ = 0 − V_B = 0 − 6.486 = −6.486 V

叠加各分量

V_R4 = V_R4′ + V_R4″

V_R4 = (−2.432) + (−6.486) = −8.919 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

8.叠加定理

答案: P_R3 = 20.01 W

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 25 ∥ 15 = 9.375 Ω

V_A = 15·9.375/(12+9.375) = 6.579 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 6.579·3/15 = 1.316 V

I_R3′ = (V_A − 0)/R₃ = (6.579 − 0)/25 = 0.2632 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 8.108 Ω，所以左侧路径为 R₂+8.108 = 20.11 Ω

R_eq = R₄ ∥ 20.11 = 2.611 Ω

V_B = I_s·R_eq = 3·2.611 = 7.832 V

V_A = V_B·8.108/20.11 = 3.158 V

I_R3″ = (V_A − 0)/R₃ = (3.158 − 0)/25 = 0.1263 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 12·25/(12+25) = 8.108 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 36·20.11/23.11 = 31.33 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 31.33·8.108/20.11 = 12.63 V

I_R3‴ = (V_A − 0)/R₃ = (12.63 − 0)/25 = 0.5053 A

把电流的各个贡献相加

I_R3 = I_R3′ + I_R3″ + I_R3‴ = 0.2632 + 0.1263 + 0.5053 = 0.8947 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R3 = I_R3²·R₃ = 0.8947²·25 = 20.01 W

答案

P_R3 = 20.01 W

把各单独情况下的功率相加会得到 8.512 W，这是错误的。

9.戴维南和诺顿

答案: V_th = 6.667 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·8/(10+8) = 4.444 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.444 + 5 = 9.444 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·8/(10+8) = 6.667 V

10.戴维南和诺顿

答案: I_N = −2.531 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 8·12/(8+12) = 4.8 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.8 + 8 = 12.8 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 6 + (−3)·4.8 = −8.4 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −8.4 + (−3)·8 = −32.4 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = −32.4/12.8 = −2.531 A

11.运放电路

答案: V_out = −2.8 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = −1.4 V

I = V₋/R₁ = −1.4/100 = −0.014 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = −1.4 + (−0.014)·100 = −2.8 V

答案

V_out = −2.8 V

12.运放电路

答案: V_out = −6.136 V

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 2.2 kΩ · 0.1 µF = 0.22 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −2.7/0.22 = −12.27 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±V_sat 以内，所以积分器尚未限幅。

V_out = −V_in·t/(RC) = −2.7·0.5/0.22 = −6.136 V

答案

V_out = −6.136 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.1687 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 47 mH / 68 Ω = 0.6912 ms

i(∞) = V_s/R = 15/68 = 0.2206 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.2206·(1 − e^−1/0.6912) = 0.1687 A

答案

i = 0.1687 A

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 2.158 V

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 9·10/(6.8 + 10) = 5.357 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 10·33 = 330 ms

放电

v_C(t) = 5.357·e^−300/330 = 2.158 V

答案

v_C = 2.158 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

输入电流和斜坡速率

给定时刻的输出

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

答案

电容的初始电压

开关断开后的时间常数

放电

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th