电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 25 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求电流源 I_s 输出的功率 P_Is。

V₁ = 24 VI_s = 5 AR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 3 Ω

P_Is = W

4.节点分析困难

用节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 6 VI_s = 0.5 AV₂ = 36 VR₁ = 10 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 15 Ω

V_B = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 10 VV₂ = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 8 Ω

I_R2 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求 R₁ 两端按图示极性的电压 V_R1。

V₁ = 15 VV₂ = 5 VR₁ = 8 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 25 Ω

V_R1 = V

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₁ 吸收的功率 P_R1。

V₁ = 10 VI_s = 3 AR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 3 Ω

P_R1 = W

8.叠加定理困难

一个线性电阻电路含有三个独立电源：V₁、V₂ 和 I_s。流过负载的电流 I 测量了三次。所有电源取正常值时，I = 16.5 mA。V₁ 加倍而另两个不变时，I = 26.5 mA。I_s 方向反转而另两个不变时，I = 15.5 mA。求将 V₂ 置零、V₁ 和 I_s 取正常值时的负载电流 I。

正常值: I = 16.5 mA2·V₁: I = 26.5 mA−I_s: I = 15.5 mA

I = mA

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 20 Ω

V_th = V

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 3 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 P_L。

V₁ = 15 VI_s = 2 AR₁ = 6 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 12 ΩR_L = 3 Ω

P_L = W

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = −1.1 VR₁ = 1 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±14 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = −2.5 V 时，电容未充电。 t = 0 之后多长时间输出达到饱和？求 t。

V_in = −2.5 VR = 47 kΩC = 1 µFV_sat = ±14 V

t = ms

13.RC 和 RL 暂态中等

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。开关在 t = 0 闭合时电容未充电。求 t = 60 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 15 VR₁ = 1 kΩR₂ = 2.2 kΩC = 47 µFt = 60 ms

v_C = V

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 8 V，极性如图所示。求 t = 500 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 12 VR = 6.8 kΩC = 47 µFv_C(0) = 8 Vt = 500 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.5063 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 4 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 10·16/(10+16) = 6.154 Ω

R_eq = R₁ + 6.154 = 6 + 6.154 = 12.15 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/12.15 = 0.8228 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0.8228·6 = 5.063 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5.063/10 = 0.5063 A

答案

I_R2 = 0.5063 A

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.4794 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 2 + 25 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 6.171 Ω

R₃ + 6.171 = 31.17 Ω

R₂ ∥ 31.17 = 5.032 Ω

R_eq = R₁ + 5.032 = 20 + 5.032 = 25.03 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 12/25.03 = 0.4794 A

答案

I_R1 = 0.4794 A

3.节点分析

答案: P_Is = 64.05 W

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/4 + (V_A − 24)/6 + (V_A − V_B)/2 = 0

0.9167·V_A − 0.5·V_B = 4

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/3 + (V_B − V_A)/2 = 5

−0.5·V_A + 0.8333·V_B = 5

求解

Δ = (0.9167)(0.8333) − (−0.5)(−0.5) = 0.5139

V_A = Δ₁/Δ = 5.833/0.5139 = 11.35 V

V_B = Δ₂/Δ = 6.583/0.5139 = 12.81 V

电流源输出的功率

电源把 Iₛ 从地（0 V）向上注入节点 B，即升到 V_B。电流从其 + 端流出的电源输出功率 P = V·I。

P_Is = V_B·I_s = 12.81·5 = 64.05 W

答案

P_Is = 64.05 W

4.节点分析

答案: V_B = 13.43 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 6 V, V₂ = 36 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/4 + (V_A − 6)/10 + (V_A − V_B)/30 = 0

0.3833·V_A − 0.03333·V_B = 0.6

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/15 + (V_B − V_A)/30 + (V_B − 36)/30 = 0.5

−0.03333·V_A + 0.1333·V_B = 1.7

求解

Δ = (0.3833)(0.1333) − (−0.03333)(−0.03333) = 0.05

V_A = Δ₁/Δ = 0.1367/0.05 = 2.733 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.6717/0.05 = 13.43 V

答案

V_B = 13.43 V

5.网孔分析

答案: I_R2 = −1.015 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

15·I₁ + 8(I₁ − I₂) = 10

23·I₁ − 8·I₂ = 10

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

15·I₂ + 8(I₂ − I₁) = (−24)

−8·I₁ + 23·I₂ = −24

求解

Δ = (23)(23) − (−8)(−8) = 465

I₁ = Δ₁/Δ = 38/465 = 0.08172 A

I₂ = Δ₂/Δ = −472/465 = −1.015 A

答案

I_R2 = I₂ = −1.015 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: V_R1 = 5.358 V

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

8·I₁ + 30(I₁ − I₂) = 15

38·I₁ − 30·I₂ = 15

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

8·I₂ + 30(I₂ − I₁) + 25(I₂ − I₃) = 0

−30·I₁ + 63·I₂ − 25·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

25·I₃ + 25(I₃ − I₂) = (−5)

−25·I₂ + 50·I₃ = −5

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 50950

I₁ = Δ₁/Δ = 34125/50950 = 0.6698 A

I₂ = Δ₂/Δ = 17750/50950 = 0.3484 A

I₃ = Δ₃/Δ = 3780/50950 = 0.07419 A

答案

I_R1 = I₁ = 0.6698 A

V_R1 = I_R1·R₁ = 0.6698·8 = 5.358 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: P_R1 = 2.733 W

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 5+3 = 8 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 4·8/(4+8) = 2.667 Ω

V_A = 10·2.667/(12+2.667) = 1.818 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 1.818·3/8 = 0.6818 V

I_R1′ = (V₁ − V_A)/R₁ = (10 − 1.818)/12 = 0.6818 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 12·4/(12+4) = 3 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 3 ∥ 8 = 2.182 Ω

V_B = I_s·R_eq = 3·2.182 = 6.545 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 6.545·3/8 = 2.455 V

I_R1″ = (V₁ − V_A)/R₁ = (0 − 2.455)/12 = −0.2045 A

把电流的各个贡献相加

I_R1 = I_R1′ + I_R1″ = 0.6818 + (−0.2045) = 0.4773 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R1 = I_R1²·R₁ = 0.4773²·12 = 2.733 W

答案

P_R1 = 2.733 W

把各单独情况下的功率相加会得到 6.081 W，这是错误的。

8.叠加定理

答案: I = 10.5 mA

用各贡献写出测量值

每个贡献与其自身的电源成正比。

I₁ + I₂ + I₃ = 16.5

2·I₁ + I₂ + I₃ = 26.5

I₁ + I₂ − I₃ = 15.5

求各贡献

I₁ = 26.5 − 16.5 = 10 mA

I₃ = (16.5 − 15.5)/2 = 0.5 mA

I₂ = 16.5 − 10 − 0.5 = 6 mA

将 V₂ 置零

I = I₁ + I₃ = 10 + 0.5 = 10.5 mA

答案

I = 10.5 mA

9.戴维南和诺顿

答案: V_th = 5.538 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 5·8/(5+8) = 3.077 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.077 + 20 = 23.08 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 9·8/(5+8) = 5.538 V

10.戴维南和诺顿

答案: P_L = 13.02 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 6·6/(6+6) = 3 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3 + 12 = 15 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 7.5 + 2·3 = 13.5 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 13.5 + 2·12 = 37.5 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 37.5/(15 + 3) = 2.083 A

P_L = I_L²·R_L = 2.083²·3 = 13.02 W

11.运放电路

答案: V_out = −12.1 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = −1.1 V

I = V₋/R₁ = −1.1/1 = −1.1 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = −1.1 + (−1.1)·10 = −12.1 V

答案

V_out = −12.1 V

12.运放电路

答案: t = 263.2 ms

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 47 kΩ · 1 µF = 47 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −(−2.5)/47 = 0.05319 V/ms

达到饱和的时间

|V_in|·t/(RC) = V_sat → t = V_sat·RC/|V_in| = 14·47/2.5 = 263.2 ms

答案

t = 263.2 ms

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 8.702 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 R_th；把电容断开，求它最终稳定的电压。

R_th = R₁ ∥ R₂ = 1·2.2/(1 + 2.2) = 0.6875 kΩ

v_C(∞) = 15·2.2/(1 + 2.2) = 10.31 V

时间常数

τ = R_th·C = 0.6875·47 = 32.31 ms

充电曲线

v_C(t) = 10.31·(1 − e^−60/32.31) = 8.702 V

答案

v_C = 8.702 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 11.16 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 6.8 kΩ · 47 µF = 319.6 ms

v_C(t) = 12 + (8 − 12)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(500) = 12 + (−4)·e^−500/319.6 = 11.16 V

答案

v_C = 11.16 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

电流源输出的功率

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

用各贡献写出测量值

求各贡献

将 V₂ 置零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

输入电流和斜坡速率

达到饱和的时间

答案

电容看到的戴维南等效电路

时间常数

充电曲线

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电压

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th