电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 24 VR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 20 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 18 VI_s = 1.5 AR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

4.节点分析困难

用节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 10 VI_s = 0.5 AV₂ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 4 Ω

V_B = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 10 VV₂ = 15 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 20 Ω

I_R3 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 24 VV₂ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 8 Ω

I_R2 = A

7.叠加定理中等

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电流源 I_s 的值（方向如图所示）。

V₁ = 9 VR₁ = 8 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 6 Ω

I_s = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 9 VI_s = 4 AV₂ = 24 VR₁ = 5 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 25 Ω

I_R2 = A

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 24 VR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 3 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 30 VI_s = 2.5 AR₁ = 6 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 20 ΩR_L = 3 Ω

I_L = A

11.运放电路中等

选择反馈电阻 R_f，使该同相放大器的电压增益为 15。

R₁ = 100 kΩA_v = 15

R_f = kΩ

12.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±14 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = −0.2 V 时，电容未充电。 t = 0 之后多长时间输出达到饱和？求 t。

V_in = −0.2 VR = 10 kΩC = 4.7 µFV_sat = ±14 V

t = ms

13.RC 和 RL 暂态中等

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。开关在 t = 0 闭合时电容未充电。求 t = 500 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 10 VR₁ = 3.3 kΩR₂ = 6.8 kΩC = 100 µFt = 500 ms

v_C = V

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 30 V，极性如图所示。求 t = 75 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 15 VR = 10 kΩC = 10 µFv_C(0) = 30 Vt = 75 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 22.2 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 8 + 10 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 12·18/(12+18) = 7.2 Ω

R_eq = R₁ + 7.2 = 15 + 7.2 = 22.2 Ω

答案

R_eq = 22.2 Ω

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 2.447 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 12 + 20 = 32 Ω

R₄ ∥ 32 = 14.04 Ω

R₃ + 14.04 = 19.04 Ω

R₂ ∥ 19.04 = 1.81 Ω

R_eq = R₁ + 1.81 = 8 + 1.81 = 9.81 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 24/9.81 = 2.447 A

答案

I_R1 = 2.447 A

3.节点分析

答案: I_R1 = 1.459 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 18 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/20 + (V_A − 18)/4 + (V_A − V_B)/6 = 0

0.4667·V_A − 0.1667·V_B = 4.5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/3 + (V_B − V_A)/6 = 1.5

−0.1667·V_A + 0.5·V_B = 1.5

求解

Δ = (0.4667)(0.5) − (−0.1667)(−0.1667) = 0.2056

V_A = Δ₁/Δ = 2.5/0.2056 = 12.16 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.45/0.2056 = 7.054 V

答案

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (18 − 12.16)/4 = 1.459 A

4.节点分析

答案: V_B = 4.029 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 10 V, V₂ = 9 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/5 + (V_A − 10)/12 + (V_A − V_B)/6 = 0

0.45·V_A − 0.1667·V_B = 0.8333

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/4 + (V_B − V_A)/6 + (V_B − 9)/8 = 0.5

−0.1667·V_A + 0.5417·V_B = 1.625

求解

Δ = (0.45)(0.5417) − (−0.1667)(−0.1667) = 0.216

V_A = Δ₁/Δ = 0.7222/0.216 = 3.344 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.8701/0.216 = 4.029 V

答案

V_B = 4.029 V

5.网孔分析

答案: I_R3 = 0.4911 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

3·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 10

23·I₁ − 20·I₂ = 10

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

12·I₂ + 20(I₂ − I₁) = (−15)

−20·I₁ + 32·I₂ = −15

求解

Δ = (23)(32) − (−20)(−20) = 336

I₁ = Δ₁/Δ = 20/336 = 0.05952 A

I₂ = Δ₂/Δ = −145/336 = −0.4315 A

答案

I_R3 = I₁ − I₂ = 0.4911 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R2 = 0.1157 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

12·I₁ + 10(I₁ − I₂) = 24

22·I₁ − 10·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

25·I₂ + 10(I₂ − I₁) + 8(I₂ − I₃) = 0

−10·I₁ + 43·I₂ − 8·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

2·I₃ + 8(I₃ − I₂) = (−9)

−8·I₂ + 10·I₃ = −9

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 7052

I₁ = Δ₁/Δ = 8064/7052 = 1.144 A

I₂ = Δ₂/Δ = 816/7052 = 0.1157 A

I₃ = Δ₃/Δ = −5694/7052 = −0.8074 A

答案

I_R2 = I₂ = 0.1157 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_s = 0.5769 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 10+6 = 16 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 5·16/(5+16) = 3.81 Ω

V_A = 9·3.81/(8+3.81) = 2.903 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 2.903·6/16 = 1.089 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (2.903 − 1.089)/10 = 0.1815 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，所以 R₁ ∥ R₂ 接在 A 与地之间。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和支路 R₃ + R₁∥R₂；流过 R₃ 的部分从 B 流向 A，与箭头方向相反。

R₁ ∥ R₂ = 3.077 Ω

I_R3″ = −I_s·R₄/(R₄ + R₃ + R₁∥R₂) = −I_s·6/19.08 = −0.3145·I_s

令总和为零

I_R3′ + I_R3″ = 0.1815 − 0.3145·I_s = 0

I_s = 0.1815/0.3145 = 0.5769 A

答案

I_s = 0.5769 A

8.叠加定理

答案: I_R2 = 2.817 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 30 ∥ 37 = 16.57 Ω

V_A = 9·16.57/(5+16.57) = 6.913 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 6.913·25/37 = 4.671 V

I_R2′ = (V_B − V_A)/R₂ = (4.671 − 6.913)/12 = −0.1869 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 4.286 Ω，所以左侧路径为 R₂+4.286 = 16.29 Ω

R_eq = R₄ ∥ 16.29 = 9.862 Ω

V_B = I_s·R_eq = 4·9.862 = 39.45 V

V_A = V_B·4.286/16.29 = 10.38 V

I_R2″ = (V_B − V_A)/R₂ = (39.45 − 10.38)/12 = 2.422 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 5·30/(5+30) = 4.286 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 24·16.29/41.29 = 9.467 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 9.467·4.286/16.29 = 2.491 V

I_R2‴ = (V_B − V_A)/R₂ = (9.467 − 2.491)/12 = 0.5813 A

叠加各分量

I_R2 = I_R2′ + I_R2″ + I_R2‴

I_R2 = (−0.1869) + 2.422 + 0.5813 = 2.817 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 18 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 12·12/(12+12) = 6 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6 + 12 = 18 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: I_L = 3.125 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 6·30/(6+30) = 5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5 + 20 = 25 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 25 + 2.5·5 = 37.5 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 37.5 + 2.5·20 = 87.5 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 87.5/(25 + 3) = 3.125 A

11.运放电路

答案: R_f = 1400 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = V_in，且流过 R₁ 的电流也流过 R_f，所以 V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (15 − 1)·100 = 1400 kΩ

答案

R_f = 1400 kΩ

12.运放电路

答案: t = 3290 ms

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 10 kΩ · 4.7 µF = 47 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −(−0.2)/47 = 0.004255 V/ms

达到饱和的时间

|V_in|·t/(RC) = V_sat → t = V_sat·RC/|V_in| = 14·47/0.2 = 3290 ms

答案

t = 3290 ms

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 6.023 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 R_th；把电容断开，求它最终稳定的电压。

R_th = R₁ ∥ R₂ = 3.3·6.8/(3.3 + 6.8) = 2.222 kΩ

v_C(∞) = 10·6.8/(3.3 + 6.8) = 6.733 V

时间常数

τ = R_th·C = 2.222·100 = 222.2 ms

充电曲线

v_C(t) = 6.733·(1 − e^−500/222.2) = 6.023 V

答案

v_C = 6.023 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 22.09 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms

v_C(t) = 15 + (30 − 15)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(75) = 15 + (15)·e^−75/100 = 22.09 V

答案

v_C = 22.09 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

令总和为零

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

同相放大器的增益

答案

输入电流和斜坡速率

达到饱和的时间

答案

电容看到的戴维南等效电路

时间常数

充电曲线

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电压

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th