电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 3 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 9 VR₁ = 2 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

如图所示，节点 A 与地之间连接了三条支路。用节点分析法求支路 3 中沿箭头方向向上流入节点 A 的电流 I₃。

V₁ = 30 VR₁ = 2 ΩV₂ = 30 VR₂ = 10 ΩV₃ = 18 VR₃ = 5 Ω

I₃ = A

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 6 VI_s = 4 AV₂ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 20 Ω

I_R2 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 12 VV₂ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 4 Ω

I_R2 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 30 VV₂ = 5 VR₁ = 2 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 3 Ω

I_R2 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 12 VI_s = 1 AR₁ = 12 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

8.叠加定理困难

一个线性电阻电路含有三个独立电源：V₁、V₂ 和 I_s。流过负载的电流 I 测量了三次。所有电源取正常值时，I = −9 mA。V₁ 加倍而另两个不变时，I = −1 mA。I_s 方向反转而另两个不变时，I = 2 mA。求将 V₂ 置零、V₁ 和 I_s 取正常值时的负载电流 I。

正常值: I = −9 mA2·V₁: I = −1 mA−I_s: I = 2 mA

I = mA

9.戴维南和诺顿中等

在 a–b 之间接入负载 R_L = 6 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 6 Ω

I_L = A

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 5 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 36 VI_s = 1 AR₁ = 8 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 ΩR_L = 5 Ω

I_L = A

11.运放电路中等

选择反馈电阻 R_f，使该同相放大器的电压增益为 4。

R₁ = 1 kΩA_v = 4

R_f = kΩ

12.运放电路困难

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。电阻比不匹配。求输出电压 V_out。

V₁ = −1.6 VV₂ = 1.9 VR₁ = 10 kΩR₂ = 10 kΩR₃ = 10 kΩR₄ = 4.7 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 80%？求 t。

V_s = 5 VR = 100 ΩL = 68 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 4 V，极性如图所示。求 t = 80 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 9 VR = 1 kΩC = 100 µFv_C(0) = 4 Vt = 80 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 20.7 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 20 + 3 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 20·23/(20+23) = 10.7 Ω

R_eq = R₁ + 10.7 = 10 + 10.7 = 20.7 Ω

答案

R_eq = 20.7 Ω

2.串并联电阻

答案: R_eq = 10.79 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 6 + 3 = 9 Ω

R₄ ∥ 9 = 6.207 Ω

R₃ + 6.207 = 21.21 Ω

R₂ ∥ 21.21 = 8.786 Ω

R_eq = R₁ + 8.786 = 2 + 8.786 = 10.79 Ω

答案

R_eq = 10.79 Ω

3.节点分析

答案: I₃ = 5.7 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

取底部导线为地。每条支路从 A 流出的电流为 (V_A − V_k)/R_k，其中 V_k 为该支路电源的电压（纯电阻支路为零）。从 A 流出的电流之和为零。

(V_A − (−30))/2 + (V_A − 30)/10 + (V_A − 18)/5 = 0

求 V_A

V_A = ((−30)/2 + 30/10 + 18/5) / (1/2 + 1/10 + 1/5) = −8.4/0.8 = −10.5 V

支路电流

箭头沿支路向上，指向节点 A。

I₃ = (18 − V_A)/R₃ = (18 − (−10.5))/5 = 5.7 A

答案

I₃ = 5.7 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: I_R2 = 1.839 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 6 V, V₂ = 15 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/12 + (V_A − 6)/10 + (V_A − V_B)/4 = 0

0.4333·V_A − 0.25·V_B = 0.6

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/20 + (V_B − V_A)/4 + (V_B − 15)/20 = (−4)

−0.25·V_A + 0.35·V_B = −3.25

求解

Δ = (0.4333)(0.35) − (−0.25)(−0.25) = 0.08917

V_A = Δ₁/Δ = −0.6025/0.08917 = −6.757 V

V_B = Δ₂/Δ = −1.258/0.08917 = −14.11 V

答案

I_R2 = (V_A − V_B)/R₂ = (−6.757 − −14.11)/4 = 1.839 A

5.网孔分析

答案: I_R2 = −0.1875 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

6·I₁ + 4(I₁ − I₂) = 12

10·I₁ − 4·I₂ = 12

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

4·I₂ + 4(I₂ − I₁) = (−6)

−4·I₁ + 8·I₂ = −6

求解

Δ = (10)(8) − (−4)(−4) = 64

I₁ = Δ₁/Δ = 72/64 = 1.125 A

I₂ = Δ₂/Δ = −12/64 = −0.1875 A

答案

I_R2 = I₂ = −0.1875 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R2 = 0.7651 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

2·I₁ + 8(I₁ − I₂) = 30

10·I₁ − 8·I₂ = 30

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

25·I₂ + 8(I₂ − I₁) + 3(I₂ − I₃) = 0

−8·I₁ + 36·I₂ − 3·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

3·I₃ + 3(I₃ − I₂) = (−5)

−3·I₂ + 6·I₃ = −5

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 1686

I₁ = Δ₁/Δ = 6090/1686 = 3.612 A

I₂ = Δ₂/Δ = 1290/1686 = 0.7651 A

I₃ = Δ₃/Δ = −760/1686 = −0.4508 A

答案

I_R2 = I₂ = 0.7651 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R1 = 0.8291 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 10+5 = 15 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 2·15/(2+15) = 1.765 Ω

V_A = 12·1.765/(12+1.765) = 1.538 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 1.538·5/15 = 0.5128 V

I_R1′ = (V₁ − V_A)/R₁ = (12 − 1.538)/12 = 0.8718 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 12·2/(12+2) = 1.714 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 5 ∥ 11.71 = 3.504 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1·3.504 = 3.504 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 3.504·1.714/11.71 = 0.5128 V

I_R1″ = (V₁ − V_A)/R₁ = (0 − 0.5128)/12 = −0.04274 A

叠加各分量

I_R1 = I_R1′ + I_R1″

I_R1 = 0.8718 + (−0.04274) = 0.8291 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: I = 2.5 mA

用各贡献写出测量值

每个贡献与其自身的电源成正比。

I₁ + I₂ + I₃ = −9

2·I₁ + I₂ + I₃ = −1

I₁ + I₂ − I₃ = 2

求各贡献

I₁ = −1 − (−9) = 8 mA

I₃ = (−9 − 2)/2 = −5.5 mA

I₂ = −9 − 8 − (−5.5) = −11.5 mA

将 V₂ 置零

I = I₁ + I₃ = 8 + (−5.5) = 2.5 mA

答案

I = 2.5 mA

9.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.1355 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 12·5/(12+5) = 3.529 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.529 + 10 = 13.53 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 9·5/(12+5) = 2.647 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 2.647/(13.53 + 6) = 0.1355 A

10.戴维南和诺顿

答案: I_L = 1.078 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 8·12/(8+12) = 4.8 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.8 + 3 = 7.8 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 21.6 + (−1)·4.8 = 16.8 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 16.8 + (−1)·3 = 13.8 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 13.8/(7.8 + 5) = 1.078 A

11.运放电路

答案: R_f = 3 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = V_in，且流过 R₁ 的电流也流过 R_f，所以 V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (4 − 1)·1 = 3 kΩ

答案

R_f = 3 kΩ

12.运放电路

答案: V_out = 2.815 V

+ 输入端的电压

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1.9·4.7/(10 + 4.7) = 0.6075 V

叠加两个输入

V₂ = 0 时，V₁ 看到的是反相放大器。V₁ = 0 时，V₊ 被同相增益 1 + R₂/R₁ 放大。

V_out = −(10/10)·(−1.6) + (1 + 10/10)·0.6075 = 1.6 + 1.215 = 2.815 V

答案

V_out = 2.815 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 1.094 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 100 Ω = 0.68 ms

i(∞) = V_s/R = 5/100 = 0.05 A

求解时间

0.8 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.8)

t = −0.68·ln(0.2) = 1.094 ms

答案

t = 1.094 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 6.753 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 4 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 1 kΩ · 100 µF = 100 ms

v_C(t) = 9 + (4 − 9)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(80) = 9 + (−5)·e^−80/100 = 6.753 V

答案

v_C = 6.753 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

答案

节点 A 的 KCL

求 VA

支路电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

用各贡献写出测量值

求各贡献

将 V₂ 置零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

同相放大器的增益

答案

+ 输入端的电压

叠加两个输入

答案

时间常数和终值电流

求解时间

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电压

答案

求 V_A

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th