电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 25 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 24 VI_s = 4 AR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 12 Ω

I_R1 = A

4.节点分析困难

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 A，所以它使 V_A − V_B = Vₛ。用含超节点的节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 24 VI_s = 6 AV_s = 8 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 30 Ω

V_B = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 24 VV₂ = 18 VR₁ = 2 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 Ω

I₁ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 9 VV₂ = 18 VR₁ = 15 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 4 Ω

I₁ = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 10 VI_s = 5 AR₁ = 15 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

8.叠加定理困难

一个线性电阻电路含有三个独立电源：V₁、V₂ 和 I_s。流过负载的电流 I 测量了三次。所有电源取正常值时，I = 24.5 mA。V₁ 加倍而另两个不变时，I = 36.5 mA。I_s 方向反转而另两个不变时，I = 18.5 mA。求将 V₂ 置零、V₁ 和 I_s 取正常值时的负载电流 I。

正常值: I = 24.5 mA2·V₁: I = 36.5 mA−I_s: I = 18.5 mA

I = mA

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 3 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 6 VI_s = 6 AR₁ = 4 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 Ω

I_N = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源；其输出饱和电压为 ±14 V。反相放大器由正弦波驱动。求输出不削波时的最大输入幅值 V_in,max（峰值）。

R₁ = 1 kΩR_f = 47 kΩV_sat = ±14 V

V_in,max = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = −1.5 VV₂ = 1.6 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 2 kΩR_f = 2 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 0.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。电流降到 0.125 A 需要多长时间？求 t。

i(0) = 0.5 AR = 47 ΩL = 47 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 4 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 10.6 V？求 t。

V_s = 15 VR = 10 kΩC = 22 µFv_C(0) = 4 V

t = ms

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 6.778 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 4 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 2·16/(2+16) = 1.778 Ω

R_eq = R₁ + 1.778 = 5 + 1.778 = 6.778 Ω

答案

R_eq = 6.778 Ω

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.758 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 30 + 25 = 55 Ω

R₄ ∥ 55 = 14.67 Ω

R₃ + 14.67 = 29.67 Ω

R₂ ∥ 29.67 = 1.874 Ω

R_eq = R₁ + 1.874 = 10 + 1.874 = 11.87 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/11.87 = 0.758 A

答案

I_R1 = 0.758 A

3.节点分析

答案: I_R1 = 3.529 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 24 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/8 + (V_A − 24)/6 + (V_A − V_B)/4 = 0

0.5417·V_A − 0.25·V_B = 4

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/12 + (V_B − V_A)/4 = (−4)

−0.25·V_A + 0.3333·V_B = −4

求解

Δ = (0.5417)(0.3333) − (−0.25)(−0.25) = 0.1181

V_A = Δ₁/Δ = 0.3333/0.1181 = 2.824 V

V_B = Δ₂/Δ = −1.167/0.1181 = −9.882 V

答案

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (24 − 2.824)/6 = 3.529 A

4.节点分析

答案: V_B = 14.61 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A − 8

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + V_B/R₃ = I_s

求解

(V_A − 24)/10 + V_A/4 + (V_A − 8)/30 = 6

V_A·(1/10 + 1/4 + 1/30) = 6 + 24/10 + 8/30 = 8.667

V_A = 8.667/0.3833 = 22.61 V

V_B = 14.61 V

答案

V_B = 14.61 V

5.网孔分析

答案: I₁ = 3.364 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

2·I₁ + 5(I₁ − I₂) = 24

7·I₁ − 5·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

8·I₂ + 5(I₂ − I₁) = (−18)

−5·I₁ + 13·I₂ = −18

求解

Δ = (7)(13) − (−5)(−5) = 66

I₁ = Δ₁/Δ = 222/66 = 3.364 A

I₂ = Δ₂/Δ = −6/66 = −0.09091 A

答案

I₁ = 3.364 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₁ = 0.3529 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

15·I₁ + 6(I₁ − I₂) = 9

21·I₁ − 6·I₂ = 9

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

30·I₂ + 6(I₂ − I₁) + 4(I₂ − I₃) = 0

−6·I₁ + 40·I₂ − 4·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

2·I₃ + 4(I₃ − I₂) = (−18)

−4·I₂ + 6·I₃ = −18

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 4488

I₁ = Δ₁/Δ = 1584/4488 = 0.3529 A

I₂ = Δ₂/Δ = −1188/4488 = −0.2647 A

I₃ = Δ₃/Δ = −14256/4488 = −3.176 A

答案

I₁ = 0.3529 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R1 = 0.1201 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 6+10 = 16 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 3·16/(3+16) = 2.526 Ω

V_A = 10·2.526/(15+2.526) = 1.441 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 1.441·10/16 = 0.9009 V

I_R1′ = (V₁ − V_A)/R₁ = (10 − 1.441)/15 = 0.5706 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 15·3/(15+3) = 2.5 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 10 ∥ 8.5 = 4.595 Ω

V_B = I_s·R_eq = 5·4.595 = 22.97 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 22.97·2.5/8.5 = 6.757 V

I_R1″ = (V₁ − V_A)/R₁ = (0 − 6.757)/15 = −0.4505 A

叠加各分量

I_R1 = I_R1′ + I_R1″

I_R1 = 0.5706 + (−0.4505) = 0.1201 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: I = 15 mA

用各贡献写出测量值

每个贡献与其自身的电源成正比。

I₁ + I₂ + I₃ = 24.5

2·I₁ + I₂ + I₃ = 36.5

I₁ + I₂ − I₃ = 18.5

求各贡献

I₁ = 36.5 − 24.5 = 12 mA

I₃ = (24.5 − 18.5)/2 = 3 mA

I₂ = 24.5 − 12 − 3 = 9.5 mA

将 V₂ 置零

I = I₁ + I₃ = 12 + 3 = 15 mA

答案

I = 15 mA

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 9.667 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 20·10/(20+10) = 6.667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6.667 + 3 = 9.667 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: I_N = −5.4 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 4·8/(4+8) = 2.667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.667 + 4 = 6.667 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4 + (−6)·2.667 = −12 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −12 + (−6)·4 = −36 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = −36/6.667 = −5.4 A

11.运放电路

答案: V_in,max = 0.2979 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

增益

|A_v| = R_f/R₁ = 47/1 = 47

削波前的最大输入

V_in,max = V_sat/|A_v| = 14/47 = 0.2979 V

答案

V_in,max = 0.2979 V

12.运放电路

答案: V_out = −0.9617 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = −1.5/4.7 = −0.3191 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1.6/2 = 0.8 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.4809 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −2·0.4809 = −0.9617 V

答案

V_out = −0.9617 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 1.386 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 47 mH / 47 Ω = 1 ms

求解时间

0.125 = 0.5·e^−t/τ → t = τ·ln(0.5/0.125)

t = 1·ln(4) = 1.386 ms

答案

t = 1.386 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: t = 201.6 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 4 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 10 kΩ · 22 µF = 220 ms

v_C(t) = 15 + (4 − 15)·e^−t/τ

求解时间

10.6 = 15 + (−11)·e^−t/τ → e^−t/τ = (10.6 − 15)/(4 − 15) = 0.4

t = τ·ln((4 − 15)/(10.6 − 15)) = 220·ln(2.5) = 201.6 ms

答案

t = 201.6 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

构成超节点

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

用各贡献写出测量值

求各贡献

将 V₂ 置零

答案

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

增益

削波前的最大输入

答案

输入电流

输出电压

答案

时间常数

求解时间

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th