电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 15 VR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 25 Ω

I_R2 = A

3.节点分析中等

如图所示，节点 A 与地之间连接了三条支路。用节点分析法求支路 1 中沿箭头方向向上流入节点 A 的电流 I₁。

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩV₂ = 18 VR₂ = 6 ΩV₃ = 15 VR₃ = 8 Ω

I₁ = A

4.节点分析困难

菱形符号是一个电压控制电流源，它向上注入节点 B 的电流为 0.05·V_A（单位 A，V_A 单位为 V）。用节点分析法求沿箭头方向流过 R₄ 的电流 I_R4。

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 4 Ωg = 0.05 A/V

I_R4 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求 R₃ 两端按图示极性的电压 V_R3。

V₁ = 6 VV₂ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 8 Ω

V_R3 = V

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 6 VV₂ = 12 VR₁ = 8 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 15 Ω

I₁ = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₄ 两端按图示极性的电压 V_R4。

V₁ = 12 VI_s = 3 AR₁ = 5 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 3 Ω

V_R4 = V

8.叠加定理困难

一个线性电阻电路含有三个独立电源：V₁、V₂ 和 I_s。流过负载的电流 I 测量了三次。所有电源取正常值时，I = 19 mA。V₁ 加倍而另两个不变时，I = 28 mA。I_s 方向反转而另两个不变时，I = 14 mA。求将 V₂ 置零、V₁ 和 I_s 取正常值时的负载电流 I。

正常值: I = 19 mA2·V₁: I = 28 mA−I_s: I = 14 mA

I = mA

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 18 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 15 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 12 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 12 VI_s = 1.5 AR₁ = 6 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 15 ΩR_L = 12 Ω

I_L = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 0.5 VR₁ = 1 kΩR_f = 4.7 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±14 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = 0.3 V 时，电容未充电。 t = 0 之后多长时间输出达到饱和？求 t。

V_in = 0.3 VR = 4.7 kΩC = 0.47 µFV_sat = ±14 V

t = ms

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时的电流 i。

V_s = 5 VR = 15 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

14.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 5 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 3.75 V 时它必须触发，恰好在开始后 250 ms。已知 R = 4.7 kΩ，求所需的电容 C。

V_s = 5 VV_th = 3.75 VT = 250 msR = 4.7 kΩ

C = µF

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.875 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 10 + 2 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 12·12/(12+12) = 6 Ω

R_eq = R₁ + 6 = 2 + 6 = 8 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/8 = 1.875 A

答案

I_R1 = 1.875 A

2.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.3672 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 6 + 25 = 31 Ω

R₄ ∥ 31 = 12.16 Ω

R₃ + 12.16 = 37.16 Ω

R₂ ∥ 37.16 = 16.6 Ω

R_eq = R₁ + 16.6 = 6 + 16.6 = 22.6 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/22.6 = 0.6638 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0.6638·6 = 11.02 V

I_R2 = V_A/R₂ = 11.02/30 = 0.3672 A

答案

I_R2 = 0.3672 A

3.节点分析

答案: I₁ = −0.1818 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

取底部导线为地。每条支路从 A 流出的电流为 (V_A − V_k)/R_k，其中 V_k 为该支路电源的电压（纯电阻支路为零）。从 A 流出的电流之和为零。

(V_A − 15)/6 + (V_A − 18)/6 + (V_A − 15)/8 = 0

求 V_A

V_A = (15/6 + 18/6 + 15/8) / (1/6 + 1/6 + 1/8) = 7.375/0.4583 = 16.09 V

支路电流

箭头沿支路向上，指向节点 A。

I₁ = (15 − V_A)/R₁ = (15 − 16.09)/6 = −0.1818 A

答案

I₁ = −0.1818 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: I_R4 = 0.2902 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻从 A 流出的电流等于电源注入 A 的电流。

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

0.8333·V_A − 0.1667·V_B = 1.667

节点 B 的 KCL

受控源向节点 B 注入 g·V_A。把它当作独立源处理，然后把含 V_A 的项移到左边。

(V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = 0.05·V_A

−0.2167·V_A + 0.4167·V_B = 0

求解

Δ = (0.8333)(0.4167) − (−0.1667)(−0.2167) = 0.3111

V_A = Δ₁/Δ = 0.6944/0.3111 = 2.232 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.3611/0.3111 = 1.161 V

流过 R₄ 的电流

I_R4 = V_B/R₄ = 1.161/4 = 0.2902 A

答案

I_R4 = 0.2902 A

5.网孔分析

答案: V_R3 = 6.886 V

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

5·I₁ + 8(I₁ − I₂) = 6

13·I₁ − 8·I₂ = 6

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

3·I₂ + 8(I₂ − I₁) = (−10)

−8·I₁ + 11·I₂ = −10

求解

Δ = (13)(11) − (−8)(−8) = 79

I₁ = Δ₁/Δ = −14/79 = −0.1772 A

I₂ = Δ₂/Δ = −82/79 = −1.038 A

答案

I_R3 = I₁ − I₂ = 0.8608 A

V_R3 = I_R3·R₃ = 0.8608·8 = 6.886 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₁ = 0.1688 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

8·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 6

28·I₁ − 20·I₂ = 6

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

25·I₂ + 20(I₂ − I₁) + 15(I₂ − I₃) = 0

−20·I₁ + 60·I₂ − 15·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

12·I₃ + 15(I₃ − I₂) = (−12)

−15·I₂ + 27·I₃ = −12

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 28260

I₁ = Δ₁/Δ = 4770/28260 = 0.1688 A

I₂ = Δ₂/Δ = −1800/28260 = −0.06369 A

I₃ = Δ₃/Δ = −13560/28260 = −0.4798 A

答案

I₁ = 0.1688 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: V_R4 = 7.286 V

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 3+3 = 6 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 3·6/(3+6) = 2 Ω

V_A = 12·2/(5+2) = 3.429 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 3.429·3/6 = 1.714 V

V_R4′ = V_B − 0 = 1.714 − 0 = 1.714 V

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 5·3/(5+3) = 1.875 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 3 ∥ 4.875 = 1.857 Ω

V_B = I_s·R_eq = 3·1.857 = 5.571 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 5.571·1.875/4.875 = 2.143 V

V_R4″ = V_B − 0 = 5.571 − 0 = 5.571 V

叠加各分量

V_R4 = V_R4′ + V_R4″

V_R4 = 1.714 + 5.571 = 7.286 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

8.叠加定理

答案: I = 11.5 mA

用各贡献写出测量值

每个贡献与其自身的电源成正比。

I₁ + I₂ + I₃ = 19

2·I₁ + I₂ + I₃ = 28

I₁ + I₂ − I₃ = 14

求各贡献

I₁ = 28 − 19 = 9 mA

I₃ = (19 − 14)/2 = 2.5 mA

I₂ = 19 − 9 − 2.5 = 7.5 mA

将 V₂ 置零

I = I₁ + I₃ = 9 + 2.5 = 11.5 mA

答案

I = 11.5 mA

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 19.44 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·8/(10+8) = 4.444 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.444 + 15 = 19.44 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: I_L = 1.223 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 6·20/(6+20) = 4.615 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.615 + 15 = 19.62 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 9.231 + 1.5·4.615 = 16.15 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 16.15 + 1.5·15 = 38.65 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 38.65/(19.62 + 12) = 1.223 A

11.运放电路

答案: V_out = 2.85 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = 0.5 V

I = V₋/R₁ = 0.5/1 = 0.5 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = 0.5 + 0.5·4.7 = 2.85 V

答案

V_out = 2.85 V

12.运放电路

答案: t = 103.1 ms

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 4.7 kΩ · 0.47 µF = 2.209 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −0.3/2.209 = −0.1358 V/ms

达到饱和的时间

|V_in|·t/(RC) = V_sat → t = V_sat·RC/|V_in| = 14·2.209/0.3 = 103.1 ms

答案

t = 103.1 ms

13.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.1648 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 15 Ω = 1.467 ms

i(∞) = V_s/R = 5/15 = 0.3333 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.3333·(1 − e^−1/1.467) = 0.1648 A

答案

i = 0.1648 A

14.RC 和 RL 暂态

答案: C = 38.37 µF

所需的时间常数

3.75 = 5·(1 − e^−250/τ) → τ = 250/ln(5/(5 − 3.75))

τ = 250/1.386 = 180.3 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 180.3/4.7 = 38.37 µF

答案

C = 38.37 µF

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

节点 A 的 KCL

求 VA

支路电流

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

流过 R₄ 的电流

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

用各贡献写出测量值

求各贡献

将 V₂ 置零

答案

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

输入电流和斜坡速率

达到饱和的时间

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

答案

所需的时间常数

电容

答案

求 V_A

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th