电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 8 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 5 VR₁ = 2 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 2 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求电流源 I_s 输出的功率 P_Is。

V₁ = 15 VI_s = 2 AR₁ = 2 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 10 Ω

P_Is = W

4.节点分析困难

菱形符号是一个电压控制电流源，它向上注入节点 B 的电流为 0.5·V_A（单位 A，V_A 单位为 V）。用节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 18 VR₁ = 25 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 3 Ωg = 0.5 A/V

V_B = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 15 VV₂ = 6 VR₁ = 2 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 4 Ω

I_R3 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 36 VV₂ = 5 VR₁ = 3 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 3 Ω

I₁ = A

7.叠加定理中等

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电流源 I_s 的值（方向如图所示）。

V₁ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 10 Ω

I_s = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 6 VI_s = 5 AV₂ = 24 VR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 6 VR₁ = 5 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 8 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 15 VI_s = 1 AR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 6 Ω

I_N = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = −1.4 VR₁ = 22 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求流过反馈电阻、流向输出端的电流 I_f。

V₁ = 1.1 VV₂ = −0.6 VR₁ = 22 kΩR₂ = 47 kΩR_f = 100 kΩ

I_f = mA

13.RC 和 RL 暂态中等

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。开关在 t = 0 闭合时电容未充电。求 t = 300 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 15 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 3.3 kΩC = 220 µFt = 300 ms

v_C = V

14.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 9 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 4.5 V 时它必须触发，恰好在开始后 1000 ms。已知 C = 10 µF，求所需的电阻 R。

V_s = 9 VV_th = 4.5 VT = 1000 msC = 10 µF

R = kΩ

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 14.62 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 8 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 6·20/(6+20) = 4.615 Ω

R_eq = R₁ + 4.615 = 10 + 4.615 = 14.62 Ω

答案

R_eq = 14.62 Ω

2.串并联电阻

答案: R_eq = 16.39 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 20 + 2 = 22 Ω

R₄ ∥ 22 = 2.64 Ω

R₃ + 2.64 = 27.64 Ω

R₂ ∥ 27.64 = 14.39 Ω

R_eq = R₁ + 14.39 = 2 + 14.39 = 16.39 Ω

答案

R_eq = 16.39 Ω

3.节点分析

答案: P_Is = 30.17 W

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/15 + (V_A − 15)/2 + (V_A − V_B)/2 = 0

1.067·V_A − 0.5·V_B = 7.5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/10 + (V_B − V_A)/2 = 2

−0.5·V_A + 0.6·V_B = 2

求解

Δ = (1.067)(0.6) − (−0.5)(−0.5) = 0.39

V_A = Δ₁/Δ = 5.5/0.39 = 14.1 V

V_B = Δ₂/Δ = 5.883/0.39 = 15.09 V

电流源输出的功率

电源把 Iₛ 从地（0 V）向上注入节点 B，即升到 V_B。电流从其 + 端流出的电源输出功率 P = V·I。

P_Is = V_B·I_s = 15.09·2 = 30.17 W

答案

P_Is = 30.17 W

4.节点分析

答案: V_B = 16.15 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻从 A 流出的电流等于电源注入 A 的电流。

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

0.1133·V_A − 0.03333·V_B = 0.72

节点 B 的 KCL

受控源向节点 B 注入 g·V_A。把它当作独立源处理，然后把含 V_A 的项移到左边。

(V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = 0.5·V_A

−0.5333·V_A + 0.3667·V_B = 0

求解

Δ = (0.1133)(0.3667) − (−0.03333)(−0.5333) = 0.02378

V_A = Δ₁/Δ = 0.264/0.02378 = 11.1 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.384/0.02378 = 16.15 V

答案

V_B = 16.15 V

5.网孔分析

答案: I_R3 = 2.192 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

2·I₁ + 4(I₁ − I₂) = 15

6·I₁ − 4·I₂ = 15

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

3·I₂ + 4(I₂ − I₁) = (−6)

−4·I₁ + 7·I₂ = −6

求解

Δ = (6)(7) − (−4)(−4) = 26

I₁ = Δ₁/Δ = 81/26 = 3.115 A

I₂ = Δ₂/Δ = 24/26 = 0.9231 A

答案

I_R3 = I₁ − I₂ = 2.192 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₁ = 5.155 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

3·I₁ + 10(I₁ − I₂) = 36

13·I₁ − 10·I₂ = 36

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

4·I₂ + 10(I₂ − I₁) + 3(I₂ − I₃) = 0

−10·I₁ + 17·I₂ − 3·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

8·I₃ + 3(I₃ − I₂) = (−5)

−3·I₂ + 11·I₃ = −5

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 1214

I₁ = Δ₁/Δ = 6258/1214 = 5.155 A

I₂ = Δ₂/Δ = 3765/1214 = 3.101 A

I₃ = Δ₃/Δ = 475/1214 = 0.3913 A

答案

I₁ = 5.155 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_s = 0.5455 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 10+10 = 20 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 6·20/(6+20) = 4.615 Ω

V_A = 10·4.615/(5+4.615) = 4.8 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 4.8·10/20 = 2.4 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (4.8 − 2.4)/10 = 0.24 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，所以 R₁ ∥ R₂ 接在 A 与地之间。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和支路 R₃ + R₁∥R₂；流过 R₃ 的部分从 B 流向 A，与箭头方向相反。

R₁ ∥ R₂ = 2.727 Ω

I_R3″ = −I_s·R₄/(R₄ + R₃ + R₁∥R₂) = −I_s·10/22.73 = −0.44·I_s

令总和为零

I_R3′ + I_R3″ = 0.24 − 0.44·I_s = 0

I_s = 0.24/0.44 = 0.5455 A

答案

I_s = 0.5455 A

8.叠加定理

答案: I_R2 = 3.352 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 25 ∥ 32 = 14.04 Ω

V_A = 6·14.04/(4+14.04) = 4.669 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 4.669·20/32 = 2.918 V

I_R2′ = (V_B − V_A)/R₂ = (2.918 − 4.669)/12 = −0.1459 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 3.448 Ω，所以左侧路径为 R₂+3.448 = 15.45 Ω

R_eq = R₄ ∥ 15.45 = 8.716 Ω

V_B = I_s·R_eq = 5·8.716 = 43.58 V

V_A = V_B·3.448/15.45 = 9.728 V

I_R2″ = (V_B − V_A)/R₂ = (43.58 − 9.728)/12 = 2.821 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 4·25/(4+25) = 3.448 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 24·15.45/35.45 = 10.46 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 10.46·3.448/15.45 = 2.335 V

I_R2‴ = (V_B − V_A)/R₂ = (10.46 − 2.335)/12 = 0.677 A

叠加各分量

I_R2 = I_R2′ + I_R2″ + I_R2‴

I_R2 = (−0.1459) + 2.821 + 0.677 = 3.352 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 11.53 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 5·12/(5+12) = 3.529 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.529 + 8 = 11.53 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: I_N = 0.6667 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 2·12/(2+12) = 1.714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.714 + 6 = 7.714 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 12.86 + (−1)·1.714 = 11.14 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 11.14 + (−1)·6 = 5.143 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 5.143/7.714 = 0.6667 A

11.运放电路

答案: V_out = −4.391 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = −1.4 V

I = V₋/R₁ = −1.4/22 = −0.06364 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = −1.4 + (−0.06364)·47 = −4.391 V

答案

V_out = −4.391 V

12.运放电路

答案: I_f = 0.03723 mA

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 1.1/22 = 0.05 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0.6/47 = −0.01277 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.03723 mA

答案

I_f = 0.03723 mA

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 3.125 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 R_th；把电容断开，求它最终稳定的电压。

R_th = R₁ ∥ R₂ = 4.7·3.3/(4.7 + 3.3) = 1.939 kΩ

v_C(∞) = 15·3.3/(4.7 + 3.3) = 6.188 V

时间常数

τ = R_th·C = 1.939·220 = 426.5 ms

充电曲线

v_C(t) = 6.188·(1 − e^−300/426.5) = 3.125 V

答案

v_C = 3.125 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: R = 144.3 kΩ

所需的时间常数

4.5 = 9·(1 − e^−1000/τ) → τ = 1000/ln(9/(9 − 4.5))

τ = 1000/0.6931 = 1443 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 1443/10 = 144.3 kΩ

答案

R = 144.3 kΩ

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

电流源输出的功率

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

令总和为零

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

输入电流

答案

电容看到的戴维南等效电路

时间常数

充电曲线

答案

所需的时间常数

电阻

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th