电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 18 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 15 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 15 VR₁ = 8 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求电流源 I_s 输出的功率 P_Is。

V₁ = 6 VI_s = 5 AR₁ = 2 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 12 Ω

P_Is = W

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 10 VI_s = 4 AV₂ = 24 VR₁ = 25 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 3 Ω

I_R1 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 18 VV₂ = 18 VR₁ = 12 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 6 Ω

I₂ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求 R₃ 两端按图示极性的电压 V_R3。

V₁ = 5 VV₂ = 5 VR₁ = 15 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 5 Ω

V_R3 = V

7.叠加定理中等

一个线性电阻电路含有一个电压源 V_s 和一个电流源 I_s。流过负载电阻的电流 I 测量了两次：V_s = 8 V、I_s = 4 mA 时，I = 5.4 mA；V_s = 20 V、I_s = 8 mA 时，I = 14 mA。求 V_s = 15 V、I_s = 4 mA 时的负载电流 I。

8 V, 4 mA → 5.4 mA20 V, 8 mA → 14 mAV_s = 15 V, I_s = 4 mA

I = mA

8.叠加定理困难

一个线性电阻电路含有三个独立电源：V₁、V₂ 和 I_s。流过负载的电流 I 测量了三次。所有电源取正常值时，I = 9 mA。V₁ 加倍而另两个不变时，I = 2 mA。I_s 方向反转而另两个不变时，I = −15 mA。求将 V₂ 置零、V₁ 和 I_s 取正常值时的负载电流 I。

正常值: I = 9 mA2·V₁: I = 2 mA−I_s: I = −15 mA

I = mA

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 18 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 10 Ω

V_th = V

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 30 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 P_L。

V₁ = 5 VI_s = 1 AR₁ = 10 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 6 ΩR_L = 30 Ω

P_L = W

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源；其输出饱和电压为 ±13 V。反相放大器由正弦波驱动。求输出不削波时的最大输入幅值 V_in,max（峰值）。

R₁ = 4.7 kΩR_f = 10 kΩV_sat = ±13 V

V_in,max = V

12.运放电路困难

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R₁，R_f1），后接一个同相放大器（R₂ 接地，R_f2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。求总电压增益 A_v = V_out/V_in。

R₁ = 2 kΩR_f1 = 22 kΩR₂ = 47 kΩR_f2 = 2 kΩ

A_v =

13.RC 和 RL 暂态中等

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。开关在 t = 0 闭合时电容未充电。求开关闭合后电路的时间常数 τ。

V_s = 10 VR₁ = 3.3 kΩR₂ = 2.2 kΩC = 47 µF

τ = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 3 V，极性如图所示。求 t = 120 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 20 VR = 4.7 kΩC = 22 µFv_C(0) = 3 Vt = 120 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 13.41 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 8 + 15 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 4·23/(4+23) = 3.407 Ω

R_eq = R₁ + 3.407 = 10 + 3.407 = 13.41 Ω

答案

R_eq = 13.41 Ω

2.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.2936 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 5 + 8 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 3.059 Ω

R₃ + 3.059 = 11.06 Ω

R₂ ∥ 11.06 = 7.667 Ω

R_eq = R₁ + 7.667 = 8 + 7.667 = 15.67 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/15.67 = 0.9574 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0.9574·8 = 7.341 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7.341/25 = 0.2936 A

答案

I_R2 = 0.2936 A

3.节点分析

答案: P_Is = 127.9 W

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/5 + (V_A − 6)/2 + (V_A − V_B)/6 = 0

0.8667·V_A − 0.1667·V_B = 3

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/12 + (V_B − V_A)/6 = 5

−0.1667·V_A + 0.25·V_B = 5

求解

Δ = (0.8667)(0.25) − (−0.1667)(−0.1667) = 0.1889

V_A = Δ₁/Δ = 1.583/0.1889 = 8.382 V

V_B = Δ₂/Δ = 4.833/0.1889 = 25.59 V

电流源输出的功率

电源把 Iₛ 从地（0 V）向上注入节点 B，即升到 V_B。电流从其 + 端流出的电源输出功率 P = V·I。

P_Is = V_B·I_s = 25.59·5 = 127.9 W

答案

P_Is = 127.9 W

4.节点分析

答案: I_R1 = 0.516 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 10 V, V₂ = −24 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/20 + (V_A − 10)/25 + (V_A − V_B)/15 = 0

0.1567·V_A − 0.06667·V_B = 0.4

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/3 + (V_B − V_A)/15 + (V_B − (−24))/12 = (−4)

−0.06667·V_A + 0.4833·V_B = −6

求解

Δ = (0.1567)(0.4833) − (−0.06667)(−0.06667) = 0.07128

V_A = Δ₁/Δ = −0.2067/0.07128 = −2.899 V

V_B = Δ₂/Δ = −0.9133/0.07128 = −12.81 V

答案

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (10 − −2.899)/25 = 0.516 A

5.网孔分析

答案: I₂ = −0.8571 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

12·I₁ + 6(I₁ − I₂) = 18

18·I₁ − 6·I₂ = 18

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

10·I₂ + 6(I₂ − I₁) = (−18)

−6·I₁ + 16·I₂ = −18

求解

Δ = (18)(16) − (−6)(−6) = 252

I₁ = Δ₁/Δ = 180/252 = 0.7143 A

I₂ = Δ₂/Δ = −216/252 = −0.8571 A

答案

I₂ = −0.8571 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: V_R3 = −2.917 V

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

15·I₁ + 3(I₁ − I₂) = 5

18·I₁ − 3·I₂ = 5

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

5·I₂ + 3(I₂ − I₁) + 5(I₂ − I₃) = 0

−3·I₁ + 13·I₂ − 5·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

5·I₃ + 5(I₃ − I₂) = (−5)

−5·I₂ + 10·I₃ = −5

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 1800

I₁ = Δ₁/Δ = 450/1800 = 0.25 A

I₂ = Δ₂/Δ = −300/1800 = −0.1667 A

I₃ = Δ₃/Δ = −1050/1800 = −0.5833 A

答案

I_R3 = I₃ = −0.5833 A

V_R3 = I_R3·R₃ = −0.5833·5 = −2.917 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I = 11 mA

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

把响应写成各贡献之和

每个贡献与其自身的电源成正比，比例常数只与电阻有关。

I = k₁·V_s + k₂·I_s

8·k₁ + 4·k₂ = 5.4

20·k₁ + 8·k₂ = 14

求常数

Δ = (8)(8) − (4)(20) = −16

k₁ = Δ₁/Δ = −12.8/−16 = 0.8

k₂ = Δ₂/Δ = 4/−16 = −0.25

k₁ = 0.8 mA/V, k₂ = −0.25

预测新的电流

I = 0.8·15 + (−0.25)·4 = 11 mA

答案

I = 11 mA

8.叠加定理

答案: I = 5 mA

用各贡献写出测量值

每个贡献与其自身的电源成正比。

I₁ + I₂ + I₃ = 9

2·I₁ + I₂ + I₃ = 2

I₁ + I₂ − I₃ = −15

求各贡献

I₁ = 2 − 9 = −7 mA

I₃ = (9 − (−15))/2 = 12 mA

I₂ = 9 − (−7) − 12 = 4 mA

将 V₂ 置零

I = I₁ + I₃ = (−7) + 12 = 5 mA

答案

I = 5 mA

9.戴维南和诺顿

答案: V_th = 9.818 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·12/(10+12) = 5.455 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5.455 + 10 = 15.45 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·12/(10+12) = 9.818 V

10.戴维南和诺顿

答案: P_L = 1.177 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·6/(10+6) = 3.75 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.75 + 6 = 9.75 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 1.875 + (−1)·3.75 = −1.875 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −1.875 + (−1)·6 = −7.875 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −7.875/(9.75 + 30) = −0.1981 A

P_L = I_L²·R_L = −0.1981²·30 = 1.177 W

11.运放电路

答案: V_in,max = 6.11 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

增益

|A_v| = R_f/R₁ = 10/4.7 = 2.128

削波前的最大输入

V_in,max = V_sat/|A_v| = 13/2.128 = 6.11 V

答案

V_in,max = 6.11 V

12.运放电路

答案: A_v = −11.47

各级的增益

A₁ = −R_f1/R₁ = −22/2 = −11

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 2/47 = 1.043

总增益

A_v = A₁·A₂ = −11·1.043 = −11.47

答案

A_v = −11.47

13.RC 和 RL 暂态

答案: τ = 62.04 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 R_th；把电容断开，求它最终稳定的电压。

R_th = R₁ ∥ R₂ = 3.3·2.2/(3.3 + 2.2) = 1.32 kΩ

v_C(∞) = 10·2.2/(3.3 + 2.2) = 4 V

时间常数

τ = R_th·C = 1.32·47 = 62.04 ms

答案

τ = 62.04 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 14.67 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 4.7 kΩ · 22 µF = 103.4 ms

v_C(t) = 20 + (3 − 20)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(120) = 20 + (−17)·e^−120/103.4 = 14.67 V

答案

v_C = 14.67 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

电流源输出的功率

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

把响应写成各贡献之和

求常数

预测新的电流

答案

用各贡献写出测量值

求各贡献

将 V₂ 置零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

增益

削波前的最大输入

答案

各级的增益

总增益

答案

电容看到的戴维南等效电路

时间常数

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电压

答案

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th