电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 15 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 5 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 12 VI_s = 1 AR₁ = 2 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 12 VI_s = 2.5 AV₂ = 36 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 5 Ω

I_R1 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 15 VV₂ = 10 VR₁ = 3 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 Ω

I_R1 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 24 VV₂ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 30 Ω

I₁ = A

7.叠加定理中等

一个线性电阻电路含有一个电压源 V_s 和一个电流源 I_s。流过负载电阻的电流 I 测量了两次：V_s = 2 V、I_s = 3 mA 时，I = 1.9 mA；V_s = 8 V、I_s = 1 mA 时，I = 2.1 mA。求 V_s = 8 V、I_s = 6 mA 时的负载电流 I。

2 V, 3 mA → 1.9 mA8 V, 1 mA → 2.1 mAV_s = 8 V, I_s = 6 mA

I = mA

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₃ 两端按图示极性的电压 V_R3。

V₁ = 24 VI_s = 2.5 AV₂ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 5 Ω

V_R3 = V

9.戴维南和诺顿中等

在 a–b 之间接入负载 R_L = 5 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 15 VR₁ = 12 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 8 ΩR_L = 5 Ω

I_L = A

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 5 VI_s = 4 AR₁ = 25 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 30 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 1 VR_a = 2 kΩR_b = 2 kΩR₁ = 4.7 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±13 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = −2.3 V 时，电容未充电。求 t = 5 ms 时的输出电压 V_out。

V_in = −2.3 VR = 4.7 kΩC = 0.22 µFV_sat = ±13 Vt = 5 ms

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 2 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。电流降到 1 A 需要多长时间？求 t。

i(0) = 2 AR = 33 ΩL = 68 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 24 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 11.4 V？求 t。

V_s = 6 VR = 6.8 kΩC = 33 µFv_C(0) = 24 V

t = ms

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 1.646 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 15 = 27 Ω

R₂ ∥ 27 = 6·27/(6+27) = 4.909 Ω

R_eq = R₁ + 4.909 = 10 + 4.909 = 14.91 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/14.91 = 2.012 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 2.012·10 = 9.878 V

I_R2 = V_A/R₂ = 9.878/6 = 1.646 A

答案

I_R2 = 1.646 A

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.9069 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 20 + 5 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 9.375 Ω

R₃ + 9.375 = 14.38 Ω

R₂ ∥ 14.38 = 6.54 Ω

R_eq = R₁ + 6.54 = 10 + 6.54 = 16.54 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/16.54 = 0.9069 A

答案

I_R1 = 0.9069 A

3.节点分析

答案: I_R1 = 3.154 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 12 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/2 + (V_A − 12)/2 + (V_A − V_B)/10 = 0

1.1·V_A − 0.1·V_B = 6

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/2 + (V_B − V_A)/10 = 1

−0.1·V_A + 0.6·V_B = 1

求解

Δ = (1.1)(0.6) − (−0.1)(−0.1) = 0.65

V_A = Δ₁/Δ = 3.7/0.65 = 5.692 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.7/0.65 = 2.615 V

答案

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (12 − 5.692)/2 = 3.154 A

4.节点分析

答案: I_R1 = 0.1091 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 12 V, V₂ = 36 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/12 + (V_A − 12)/6 + (V_A − V_B)/3 = 0

0.5833·V_A − 0.3333·V_B = 2

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/5 + (V_B − V_A)/3 + (V_B − 36)/20 = 2.5

−0.3333·V_A + 0.5833·V_B = 4.3

求解

Δ = (0.5833)(0.5833) − (−0.3333)(−0.3333) = 0.2292

V_A = Δ₁/Δ = 2.6/0.2292 = 11.35 V

V_B = Δ₂/Δ = 3.175/0.2292 = 13.85 V

答案

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (12 − 11.35)/6 = 0.1091 A

5.网孔分析

答案: I_R1 = 2.059 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

3·I₁ + 4(I₁ − I₂) = 15

7·I₁ − 4·I₂ = 15

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

8·I₂ + 4(I₂ − I₁) = (−10)

−4·I₁ + 12·I₂ = −10

求解

Δ = (7)(12) − (−4)(−4) = 68

I₁ = Δ₁/Δ = 140/68 = 2.059 A

I₂ = Δ₂/Δ = −10/68 = −0.1471 A

答案

I_R1 = I₁ = 2.059 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₁ = 2.179 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

6·I₁ + 6(I₁ − I₂) = 24

12·I₁ − 6·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

10·I₂ + 6(I₂ − I₁) + 30(I₂ − I₃) = 0

−6·I₁ + 46·I₂ − 30·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

12·I₃ + 30(I₃ − I₂) = (−6)

−30·I₂ + 42·I₃ = −6

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 10872

I₁ = Δ₁/Δ = 23688/10872 = 2.179 A

I₂ = Δ₂/Δ = 3888/10872 = 0.3576 A

I₃ = Δ₃/Δ = 1224/10872 = 0.1126 A

答案

I₁ = 2.179 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I = 4.6 mA

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

把响应写成各贡献之和

每个贡献与其自身的电源成正比，比例常数只与电阻有关。

I = k₁·V_s + k₂·I_s

2·k₁ + 3·k₂ = 1.9

8·k₁ + 1·k₂ = 2.1

求常数

Δ = (2)(1) − (3)(8) = −22

k₁ = Δ₁/Δ = −4.4/−22 = 0.2

k₂ = Δ₂/Δ = −11/−22 = 0.5

k₁ = 0.2 mA/V, k₂ = 0.5

预测新的电流

I = 0.2·8 + 0.5·6 = 4.6 mA

答案

I = 4.6 mA

8.叠加定理

答案: V_R3 = 7.358 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 10 ∥ 13 = 5.652 Ω

V_A = 24·5.652/(15+5.652) = 6.568 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 6.568·5/13 = 2.526 V

V_R3′ = V_A − 0 = 6.568 − 0 = 6.568 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 6 Ω，所以左侧路径为 R₂+6 = 14 Ω

R_eq = R₄ ∥ 14 = 3.684 Ω

V_B = I_s·R_eq = 2.5·3.684 = 9.211 V

V_A = V_B·6/14 = 3.947 V

V_R3″ = V_A − 0 = 3.947 − 0 = 3.947 V

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 15·10/(15+10) = 6 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = (−10)·14/19 = −7.368 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = −7.368·6/14 = −3.158 V

V_R3‴ = V_A − 0 = −3.158 − 0 = −3.158 V

叠加各分量

V_R3 = V_R3′ + V_R3″ + V_R3‴

V_R3 = 6.568 + 3.947 + (−3.158) = 7.358 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

9.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.3695 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 12·10/(12+10) = 5.455 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5.455 + 8 = 13.45 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·10/(12+10) = 6.818 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 6.818/(13.45 + 5) = 0.3695 A

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = 137.5 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 25·5/(25+5) = 4.167 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.167 + 30 = 34.17 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 0.8333 + 4·4.167 = 17.5 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 17.5 + 4·30 = 137.5 V

11.运放电路

答案: V_out = 2.84 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 1·2/(2 + 2) = 0.5 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 0.5·(1 + 22/4.7) = 2.84 V

答案

V_out = 2.84 V

12.运放电路

答案: V_out = 11.12 V

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 4.7 kΩ · 0.22 µF = 1.034 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −(−2.3)/1.034 = 2.224 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±V_sat 以内，所以积分器尚未限幅。

V_out = −V_in·t/(RC) = −(−2.3)·5/1.034 = 11.12 V

答案

V_out = 11.12 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 1.428 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 68 mH / 33 Ω = 2.061 ms

求解时间

1 = 2·e^−t/τ → t = τ·ln(2/1)

t = 2.061·ln(2) = 1.428 ms

答案

t = 1.428 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: t = 270.2 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 24 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 6.8 kΩ · 33 µF = 224.4 ms

v_C(t) = 6 + (24 − 6)·e^−t/τ

求解时间

11.4 = 6 + (18)·e^−t/τ → e^−t/τ = (11.4 − 6)/(24 − 6) = 0.3

t = τ·ln((24 − 6)/(11.4 − 6)) = 224.4·ln(3.333) = 270.2 ms

答案

t = 270.2 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

把响应写成各贡献之和

求常数

预测新的电流

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

+ 输入端的电压

同相增益

答案

输入电流和斜坡速率

给定时刻的输出

答案

时间常数

求解时间

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th