电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 18 VR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 18 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 V_B − V_A = Vₛ。用含超节点的节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

I_s = 1 AV_s = 3 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 Ω

V_B = V

4.节点分析困难

调节电流源，使节点 A 的电压为 V_A = 10.5 V。用节点分析法求电源电流 I_s（方向如图所示）。

V₁ = 9 VR₁ = 8 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 15 ΩV_A = 10.5 V

I_s = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 10 VV₂ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 8 Ω

I_R2 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 6 VV₂ = 18 VR₁ = 25 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 25 Ω

I₂ = A

7.叠加定理中等

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电流源 I_s 的值（方向如图所示）。

V₁ = 24 VR₁ = 8 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 2 Ω

I_s = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 5 VI_s = 0.5 AV₂ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 2 Ω

I_R2 = A

9.戴维南和诺顿中等

在 a–b 之间接入负载 R_L = 15 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 18 VR₁ = 5 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 6 ΩR_L = 15 Ω

I_L = A

10.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 5 VI_s = 0.5 AR₁ = 12 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 25 Ω

I_N = A

11.运放电路中等

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R₃ = R₁，R₄ = R₂。求反相输入端的电压 V₋。

V₁ = −2.9 VV₂ = 1.7 VR₁ = R₃ = 47 kΩR₂ = R₄ = 10 kΩ

V₋ = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = −0.7 VV₂ = −0.7 VR₁ = 22 kΩR₂ = 1 kΩR_f = 4.7 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 5 ms 时电感两端的电压 v_L。

V_s = 15 VR = 50 ΩL = 100 mHt = 5 ms

v_L = V

14.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。求 t = 2 ms 时的电感电流 i。

V_s = 15 VR₁ = 33 ΩR₂ = 33 ΩL = 100 mHt = 2 ms

i = A

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 16.29 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 5 + 10 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 6·15/(6+15) = 4.286 Ω

R_eq = R₁ + 4.286 = 12 + 4.286 = 16.29 Ω

答案

R_eq = 16.29 Ω

2.串并联电阻

答案: R_eq = 12.79 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 6 + 3 = 9 Ω

R₄ ∥ 9 = 4.235 Ω

R₃ + 4.235 = 9.235 Ω

R₂ ∥ 9.235 = 2.791 Ω

R_eq = R₁ + 2.791 = 10 + 2.791 = 12.79 Ω

答案

R_eq = 12.79 Ω

3.节点分析

答案: V_B = 3.6 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A + V_s = V_A + 3

V_A/R₁ + V_B/R₂ = I_s

求解

V_A/6 + (V_A + 3)/4 = 1

V_A = (1 − 3/4)/(1/6 + 1/4) = 0.6 V

V_B = 0.6 + 3 = 3.6 V

答案

V_B = 3.6 V

4.节点分析

答案: I_s = 4 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

V_A 已知，所以这个方程给出 V_B。

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

(10.5 − 9)/8 + 10.5/10 = (V_B − 10.5)/25

1.238 = (V_B − 10.5)/25 → V_B = 41.44 V

节点 B 的 KCL

经电阻从 B 流出的电流等于电源注入 B 的电流。

I_s = (V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = (41.44 − 10.5)/25 + 41.44/15 = 4 A

答案

I_s = 4 A

5.网孔分析

答案: I_R2 = −3.115 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

20·I₁ + 8(I₁ − I₂) = 10

28·I₁ − 8·I₂ = 10

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

3·I₂ + 8(I₂ − I₁) = (−30)

−8·I₁ + 11·I₂ = −30

求解

Δ = (28)(11) − (−8)(−8) = 244

I₁ = Δ₁/Δ = −130/244 = −0.5328 A

I₂ = Δ₂/Δ = −760/244 = −3.115 A

答案

I_R2 = I₂ = −3.115 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₂ = −0.3684 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

25·I₁ + 12(I₁ − I₂) = 6

37·I₁ − 12·I₂ = 6

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

30·I₂ + 12(I₂ − I₁) + 25(I₂ − I₃) = 0

−12·I₁ + 67·I₂ − 25·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

2·I₃ + 25(I₃ − I₂) = (−18)

−25·I₂ + 27·I₃ = −18

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 39920

I₁ = Δ₁/Δ = 1704/39920 = 0.04269 A

I₂ = Δ₂/Δ = −14706/39920 = −0.3684 A

I₃ = Δ₃/Δ = −40230/39920 = −1.008 A

答案

I₂ = −0.3684 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_s = 4 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 3+2 = 5 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 4·5/(4+5) = 2.222 Ω

V_A = 24·2.222/(8+2.222) = 5.217 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 5.217·2/5 = 2.087 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (5.217 − 2.087)/3 = 1.043 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，所以 R₁ ∥ R₂ 接在 A 与地之间。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和支路 R₃ + R₁∥R₂；流过 R₃ 的部分从 B 流向 A，与箭头方向相反。

R₁ ∥ R₂ = 2.667 Ω

I_R3″ = −I_s·R₄/(R₄ + R₃ + R₁∥R₂) = −I_s·2/7.667 = −0.2609·I_s

令总和为零

I_R3′ + I_R3″ = 1.043 − 0.2609·I_s = 0

I_s = 1.043/0.2609 = 4 A

答案

I_s = 4 A

8.叠加定理

答案: I_R2 = −1.514 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 15 ∥ 12 = 6.667 Ω

V_A = 5·6.667/(4+6.667) = 3.125 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 3.125·2/12 = 0.5208 V

I_R2′ = (V_B − V_A)/R₂ = (0.5208 − 3.125)/10 = −0.2604 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 3.158 Ω，所以左侧路径为 R₂+3.158 = 13.16 Ω

R_eq = R₄ ∥ 13.16 = 1.736 Ω

V_B = I_s·R_eq = (−0.5)·1.736 = −0.8681 V

V_A = V_B·3.158/13.16 = −0.2083 V

I_R2″ = (V_B − V_A)/R₂ = (−0.8681 − −0.2083)/10 = −0.06597 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 4·15/(4+15) = 3.158 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = (−18)·13.16/15.16 = −15.63 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = −15.63·3.158/13.16 = −3.75 V

I_R2‴ = (V_B − V_A)/R₂ = (−15.63 − −3.75)/10 = −1.188 A

叠加各分量

I_R2 = I_R2′ + I_R2″ + I_R2‴

I_R2 = (−0.2604) + (−0.06597) + (−1.188) = −1.514 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.4932 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 5·10/(5+10) = 3.333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.333 + 6 = 9.333 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·10/(5+10) = 12 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 12/(9.333 + 15) = 0.4932 A

10.戴维南和诺顿

答案: I_N = −0.3936 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 12·30/(12+30) = 8.571 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8.571 + 25 = 33.57 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 3.571 + (−0.5)·8.571 = −0.7143 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −0.7143 + (−0.5)·25 = −13.21 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = −13.21/33.57 = −0.3936 A

11.运放电路

答案: V₋ = 0.2982 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1.7·10/(47 + 10) = 0.2982 V

V₋ = V₊

答案

V₋ = 0.2982 V

12.运放电路

答案: V_out = 3.44 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = −0.7/22 = −0.03182 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0.7/1 = −0.7 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0.7318 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −4.7·(−0.7318) = 3.44 V

答案

V_out = 3.44 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_L = 1.231 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 50 Ω = 2 ms

i(∞) = V_s/R = 15/50 = 0.3 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 15·e^−5/2 = 1.231 V

答案

v_L = 1.231 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.288 A

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 15/33 = 0.4545 A

i(∞) = 15/(33 + 33) = 0.2273 A

τ = L/R = 100/66 = 1.515 ms

i(t) = 0.2273 + (0.4545 − 0.2273)·e^−t/τ

给定时刻的电流

i(2) = 0.2273 + (0.2273)·e^−2/1.515 = 0.288 A

答案

i = 0.288 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

答案

构成超节点

求解

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

令总和为零

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

输入端的电压

答案

输入电流

输出电压

答案

时间常数和终值电流

电感电压

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电流

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th