电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 18 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 5 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 V_B − V_A = Vₛ。用含超节点的节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

I_s = 5 AV_s = 5 VR₁ = 12 ΩR₂ = 5 Ω

V_A = V

4.节点分析困难

用节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 18 VI_s = 0.5 AV₂ = 6 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 8 Ω

V_A = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 12 VV₂ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 Ω

I₂ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 9 VV₂ = 15 VR₁ = 2 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 30 Ω

V_R2 = V

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 24 VI_s = 3 AR₁ = 3 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₂ 吸收的功率 P_R2。

V₁ = 9 VI_s = 5 AV₂ = 36 VR₁ = 3 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 10 Ω

P_R2 = W

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 10 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 36 VI_s = 5 AR₁ = 8 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 30 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = −0.6 VR₁ = 10 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±14 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = 2.2 V 时，电容未充电。求 t = 200 ms 时的输出电压 V_out。

V_in = 2.2 VR = 47 kΩC = 1 µFV_sat = ±14 Vt = 200 ms

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时电感两端的电压 v_L。

V_s = 24 VR = 50 ΩL = 47 mHt = 1 ms

v_L = V

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 18 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 10.2 V？求 t。

V_s = 5 VR = 6.8 kΩC = 10 µFv_C(0) = 18 V

t = ms

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.7268 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 8 + 20 = 28 Ω

R₂ ∥ 28 = 15·28/(15+28) = 9.767 Ω

R_eq = R₁ + 9.767 = 15 + 9.767 = 24.77 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 18/24.77 = 0.7268 A

答案

I_R1 = 0.7268 A

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.301 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 3 + 5 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 1.6 Ω

R₃ + 1.6 = 3.6 Ω

R₂ ∥ 3.6 = 3.051 Ω

R_eq = R₁ + 3.051 = 20 + 3.051 = 23.05 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/23.05 = 1.301 A

答案

I_R1 = 1.301 A

3.节点分析

答案: V_A = 14.12 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A + V_s = V_A + 5

V_A/R₁ + V_B/R₂ = I_s

求解

V_A/12 + (V_A + 5)/5 = 5

V_A = (5 − 5/5)/(1/12 + 1/5) = 14.12 V

V_B = 14.12 + 5 = 19.12 V

答案

V_A = 14.12 V

4.节点分析

答案: V_A = 8 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 18 V, V₂ = −6 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/6 + (V_A − 18)/5 + (V_A − V_B)/6 = 0

0.5333·V_A − 0.1667·V_B = 3.6

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/8 + (V_B − V_A)/6 + (V_B − (−6))/15 = 0.5

−0.1667·V_A + 0.3583·V_B = 0.1

求解

Δ = (0.5333)(0.3583) − (−0.1667)(−0.1667) = 0.1633

V_A = Δ₁/Δ = 1.307/0.1633 = 8 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.6533/0.1633 = 4 V

答案

V_A = 8 V

5.网孔分析

答案: I₂ = −0.7083 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

6·I₁ + 4(I₁ − I₂) = 12

10·I₁ − 4·I₂ = 12

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

12·I₂ + 4(I₂ − I₁) = (−15)

−4·I₁ + 16·I₂ = −15

求解

Δ = (10)(16) − (−4)(−4) = 144

I₁ = Δ₁/Δ = 132/144 = 0.9167 A

I₂ = Δ₂/Δ = −102/144 = −0.7083 A

答案

I₂ = −0.7083 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: V_R2 = −3.57 V

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

2·I₁ + 3(I₁ − I₂) = 9

5·I₁ − 3·I₂ = 9

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

20·I₂ + 3(I₂ − I₁) + 30(I₂ − I₃) = 0

−3·I₁ + 53·I₂ − 30·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

12·I₃ + 30(I₃ − I₂) = (−15)

−30·I₂ + 42·I₃ = −15

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 6252

I₁ = Δ₁/Δ = 10584/6252 = 1.693 A

I₂ = Δ₂/Δ = −1116/6252 = −0.1785 A

I₃ = Δ₃/Δ = −3030/6252 = −0.4846 A

答案

I_R2 = I₂ = −0.1785 A

V_R2 = I_R2·R₂ = −0.1785·20 = −3.57 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R1 = −3.236 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 5+6 = 11 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 4·11/(4+11) = 2.933 Ω

V_A = 24·2.933/(3+2.933) = 11.87 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 11.87·6/11 = 6.472 V

I_R1′ = (V_A − V₁)/R₁ = (11.87 − 24)/3 = −4.045 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 3·4/(3+4) = 1.714 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 6 ∥ 6.714 = 3.169 Ω

V_B = I_s·R_eq = 3·3.169 = 9.506 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 9.506·1.714/6.714 = 2.427 V

I_R1″ = (V_A − V₁)/R₁ = (2.427 − 0)/3 = 0.809 A

叠加各分量

I_R1 = I_R1′ + I_R1″

I_R1 = (−4.045) + 0.809 = −3.236 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: P_R2 = 8.049 W

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 5 ∥ 20 = 4 Ω

V_A = 9·4/(3+4) = 5.143 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 5.143·10/20 = 2.571 V

I_R2′ = (V_A − V_B)/R₂ = (5.143 − 2.571)/10 = 0.2571 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₃ = 1.875 Ω，所以左侧路径为 R₂+1.875 = 11.88 Ω

R_eq = R₄ ∥ 11.88 = 5.429 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −5·5.429 = −27.14 V

V_A = V_B·1.875/11.88 = −4.286 V

I_R2″ = (V_A − V_B)/R₂ = (−4.286 − −27.14)/10 = 2.286 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 3·5/(3+5) = 1.875 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 36·11.88/21.88 = 19.54 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 19.54·1.875/11.88 = 3.086 V

I_R2‴ = (V_A − V_B)/R₂ = (3.086 − 19.54)/10 = −1.646 A

把电流的各个贡献相加

I_R2 = I_R2′ + I_R2″ + I_R2‴ = 0.2571 + 2.286 + (−1.646) = 0.8971 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R2 = I_R2²·R₂ = 0.8971²·10 = 8.049 W

答案

P_R2 = 8.049 W

把各单独情况下的功率相加会得到 79.99 W，这是错误的。

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 14.62 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 20·6/(20+6) = 4.615 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.615 + 10 = 14.62 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = −151.1 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 8·3/(8+3) = 2.182 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.182 + 30 = 32.18 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 9.818 + (−5)·2.182 = −1.091 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −1.091 + (−5)·30 = −151.1 V

11.运放电路

答案: V_out = −1.92 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = −0.6 V

I = V₋/R₁ = −0.6/10 = −0.06 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = −0.6 + (−0.06)·22 = −1.92 V

答案

V_out = −1.92 V

12.运放电路

答案: V_out = −9.362 V

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 47 kΩ · 1 µF = 47 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −2.2/47 = −0.04681 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±V_sat 以内，所以积分器尚未限幅。

V_out = −V_in·t/(RC) = −2.2·200/47 = −9.362 V

答案

V_out = −9.362 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_L = 8.283 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 47 mH / 50 Ω = 0.94 ms

i(∞) = V_s/R = 24/50 = 0.48 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 24·e^−1/0.94 = 8.283 V

答案

v_L = 8.283 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: t = 62.31 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 6.8 kΩ · 10 µF = 68 ms

v_C(t) = 5 + (18 − 5)·e^−t/τ

求解时间

10.2 = 5 + (13)·e^−t/τ → e^−t/τ = (10.2 − 5)/(18 − 5) = 0.4

t = τ·ln((18 − 5)/(10.2 − 5)) = 68·ln(2.5) = 62.31 ms

答案

t = 62.31 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

构成超节点

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

输入电流和斜坡速率

给定时刻的输出

答案

时间常数和终值电流

电感电压

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th