电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 6 VR₁ = 4 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 5 VR₁ = 15 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 15 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 12 VI_s = 1 AR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 3 Ω

I_R3 = A

4.节点分析困难

菱形符号是一个电压控制电流源，它向上注入节点 B 的电流为 0.4·V_A（单位 A，V_A 单位为 V）。用节点分析法求沿箭头方向流过 R₄ 的电流 I_R4。

V₁ = 18 VR₁ = 25 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 8 Ωg = 0.4 A/V

I_R4 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 9 VV₂ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 Ω

I₂ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 30 VV₂ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 12 Ω

I₁ = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 12 VI_s = 3 AR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 4 Ω

I_R3 = A

8.叠加定理困难

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电压源 V₂ 的值（极性如图所示）。

V₁ = 15 VI_s = 4 AR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 20 Ω

V₂ = V

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 12 VR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 8 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 18 VI_s = 4 AR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 5 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 3.5 VR_a = 22 kΩR_b = 1 kΩR₁ = 10 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。电阻比不匹配。求输出电压 V_out。

V₁ = 0.2 VV₂ = 0.4 VR₁ = 22 kΩR₂ = 1 kΩR₃ = 22 kΩR₄ = 100 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 80%？求 t。

V_s = 5 VR = 50 ΩL = 100 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 5 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 3.16 V 时它必须触发，恰好在开始后 25 ms。已知 C = 22 µF，求所需的电阻 R。

V_s = 5 VV_th = 3.16 VT = 25 msC = 22 µF

R = kΩ

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.7241 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 10 + 5 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 6·15/(6+15) = 4.286 Ω

R_eq = R₁ + 4.286 = 4 + 4.286 = 8.286 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/8.286 = 0.7241 A

答案

I_R1 = 0.7241 A

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.2559 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 30 + 15 = 45 Ω

R₄ ∥ 45 = 3.673 Ω

R₃ + 3.673 = 18.67 Ω

R₂ ∥ 18.67 = 4.541 Ω

R_eq = R₁ + 4.541 = 15 + 4.541 = 19.54 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 5/19.54 = 0.2559 A

答案

I_R1 = 0.2559 A

3.节点分析

答案: I_R3 = 0.5 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 12 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/12 + (V_A − 12)/4 + (V_A − V_B)/6 = 0

0.5·V_A − 0.1667·V_B = 3

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/3 + (V_B − V_A)/6 = 1

−0.1667·V_A + 0.5·V_B = 1

求解

Δ = (0.5)(0.5) − (−0.1667)(−0.1667) = 0.2222

V_A = Δ₁/Δ = 1.667/0.2222 = 7.5 V

V_B = Δ₂/Δ = 1/0.2222 = 4.5 V

答案

I_R3 = (V_A − V_B)/R₃ = (7.5 − 4.5)/6 = 0.5 A

4.节点分析

答案: I_R4 = 0.8014 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻从 A 流出的电流等于电源注入 A 的电流。

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

0.4983·V_A − 0.125·V_B = 0.72

节点 B 的 KCL

受控源向节点 B 注入 g·V_A。把它当作独立源处理，然后把含 V_A 的项移到左边。

(V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = 0.4·V_A

−0.525·V_A + 0.25·V_B = 0

求解

Δ = (0.4983)(0.25) − (−0.125)(−0.525) = 0.05896

V_A = Δ₁/Δ = 0.18/0.05896 = 3.053 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.378/0.05896 = 6.411 V

流过 R₄ 的电流

I_R4 = V_B/R₄ = 6.411/8 = 0.8014 A

答案

I_R4 = 0.8014 A

5.网孔分析

答案: I₂ = −0.4909 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

10·I₁ + 5(I₁ − I₂) = 9

15·I₁ − 5·I₂ = 9

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

15·I₂ + 5(I₂ − I₁) = (−12)

−5·I₁ + 20·I₂ = −12

求解

Δ = (15)(20) − (−5)(−5) = 275

I₁ = Δ₁/Δ = 120/275 = 0.4364 A

I₂ = Δ₂/Δ = −135/275 = −0.4909 A

答案

I₂ = −0.4909 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₁ = 1.284 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

20·I₁ + 3(I₁ − I₂) = 30

23·I₁ − 3·I₂ = 30

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

25·I₂ + 3(I₂ − I₁) + 12(I₂ − I₃) = 0

−3·I₁ + 40·I₂ − 12·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

8·I₃ + 12(I₃ − I₂) = (−15)

−12·I₂ + 20·I₃ = −15

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 14908

I₁ = Δ₁/Δ = 19140/14908 = 1.284 A

I₂ = Δ₂/Δ = −2340/14908 = −0.157 A

I₃ = Δ₃/Δ = −12585/14908 = −0.8442 A

答案

I₁ = 1.284 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R3 = −0.6667 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 6+4 = 10 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 4·10/(4+10) = 2.857 Ω

V_A = 12·2.857/(10+2.857) = 2.667 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 2.667·4/10 = 1.067 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (2.667 − 1.067)/6 = 0.2667 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 10·4/(10+4) = 2.857 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 4 ∥ 8.857 = 2.756 Ω

V_B = I_s·R_eq = 3·2.756 = 8.267 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 8.267·2.857/8.857 = 2.667 V

I_R3″ = (V_A − V_B)/R₃ = (2.667 − 8.267)/6 = −0.9333 A

叠加各分量

I_R3 = I_R3′ + I_R3″

I_R3 = 0.2667 + (−0.9333) = −0.6667 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: V₂ = 10 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 4 ∥ 28 = 3.5 Ω

V_A = 15·3.5/(6+3.5) = 5.526 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 5.526·20/28 = 3.947 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₃ = 2.4 Ω，所以左侧路径为 R₂+2.4 = 10.4 Ω

R_eq = R₄ ∥ 10.4 = 6.842 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −4·6.842 = −27.37 V

V_A = V_B·2.4/10.4 = −6.316 V

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 2.4 Ω

V_A‴ = V₂·2.4/(20 + 8 + 2.4) = 0.07895·V₂

令 V_A 为零

V_A = 0 时 R₃ 两端没有电压，所以其电流为零。

V_A′ + V_A″ + V_A‴ = 5.526 + (−6.316) + 0.07895·V₂ = 0

V₂ = 0.7895/0.07895 = 10 V

答案

V₂ = 10 V

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 9.6 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 8·2/(8+2) = 1.6 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.6 + 8 = 9.6 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = 64.57 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 15·20/(15+20) = 8.571 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8.571 + 5 = 13.57 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 10.29 + 4·8.571 = 44.57 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 44.57 + 4·5 = 64.57 V

11.运放电路

答案: V_out = 0.8674 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 3.5·1/(22 + 1) = 0.1522 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 0.1522·(1 + 47/10) = 0.8674 V

答案

V_out = 0.8674 V

12.运放电路

答案: V_out = 0.3337 V

+ 输入端的电压

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 0.4·100/(22 + 100) = 0.3279 V

叠加两个输入

V₂ = 0 时，V₁ 看到的是反相放大器。V₁ = 0 时，V₊ 被同相增益 1 + R₂/R₁ 放大。

V_out = −(1/22)·0.2 + (1 + 1/22)·0.3279 = −0.009091 + 0.3428 = 0.3337 V

答案

V_out = 0.3337 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 3.219 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 50 Ω = 2 ms

i(∞) = V_s/R = 5/50 = 0.1 A

求解时间

0.8 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.8)

t = −2·ln(0.2) = 3.219 ms

答案

t = 3.219 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: R = 1.137 kΩ

所需的时间常数

3.16 = 5·(1 − e^−25/τ) → τ = 25/ln(5/(5 − 3.16))

τ = 25/0.9997 = 25.01 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 25.01/22 = 1.137 kΩ

答案

R = 1.137 kΩ

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

流过 R₄ 的电流

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用，按每伏计

令 VA 为零

答案

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

+ 输入端的电压

同相增益

答案

+ 输入端的电压

叠加两个输入

答案

时间常数和终值电流

求解时间

答案

所需的时间常数

电阻

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

令 V_A 为零

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th