电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 8 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 36 VR₁ = 15 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 10 VI_s = 1 AR₁ = 5 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 12 Ω

V_A = V

4.节点分析困难

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 V_B − V_A = Vₛ。用含超节点的节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 10 VI_s = 4 AV_s = 5 VR₁ = 2 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 5 Ω

V_A = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 6 VV₂ = 24 VR₁ = 4 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 Ω

I_R2 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 10 VV₂ = 6 VR₁ = 25 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 3 Ω

I_R3 = A

7.叠加定理中等

一个线性电阻电路含有一个电压源 V_s 和一个电流源 I_s。流过负载电阻的电流 I 测量了两次：V_s = 15 V、I_s = 6 mA 时，I = 20.1 mA；V_s = 12 V、I_s = 4 mA 时，I = 16.4 mA。求 V_s = 2 V、I_s = 4 mA 时的负载电流 I。

15 V, 6 mA → 20.1 mA12 V, 4 mA → 16.4 mAV_s = 2 V, I_s = 4 mA

I = mA

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₃ 两端按图示极性的电压 V_R3。

V₁ = 36 VI_s = 6 AV₂ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 20 Ω

V_R3 = V

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 15 VR₁ = 3 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 20 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 10 VI_s = 3 AR₁ = 15 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 6 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 3 VR_a = 10 kΩR_b = 47 kΩR₁ = 47 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求流过反馈电阻、流向输出端的电流 I_f。

V₁ = 1.1 VV₂ = −0.2 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 100 kΩR_f = 10 kΩ

I_f = mA

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 5 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

V_s = 5 VR = 15 ΩL = 47 mHt = 5 ms

W = mJ

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 18 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 15.3 V？求 t。

V_s = 9 VR = 10 kΩC = 33 µFv_C(0) = 18 V

t = ms

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 25 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 8 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 20·20/(20+20) = 10 Ω

R_eq = R₁ + 10 = 15 + 10 = 25 Ω

答案

R_eq = 25 Ω

2.串并联电阻

答案: R_eq = 18.5 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 3 + 30 = 33 Ω

R₄ ∥ 33 = 15.71 Ω

R₃ + 15.71 = 27.71 Ω

R₂ ∥ 27.71 = 3.495 Ω

R_eq = R₁ + 3.495 = 15 + 3.495 = 18.5 Ω

答案

R_eq = 18.5 Ω

3.节点分析

答案: V_A = 8 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 10 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/12 + (V_A − 10)/5 + (V_A − V_B)/3 = 0

0.6167·V_A − 0.3333·V_B = 2

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/12 + (V_B − V_A)/3 = 1

−0.3333·V_A + 0.4167·V_B = 1

求解

Δ = (0.6167)(0.4167) − (−0.3333)(−0.3333) = 0.1458

V_A = Δ₁/Δ = 1.167/0.1458 = 8 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.283/0.1458 = 8.8 V

答案

V_A = 8 V

4.节点分析

答案: V_A = 9.231 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A + 5

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + V_B/R₃ = I_s

求解

(V_A − 10)/2 + V_A/6 + (V_A + 5)/5 = 4

V_A·(1/2 + 1/6 + 1/5) = 4 + 10/2 − 5/5 = 8

V_A = 8/0.8667 = 9.231 V

V_B = 14.23 V

答案

V_A = 9.231 V

5.网孔分析

答案: I_R2 = −1.962 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

4·I₁ + 6(I₁ − I₂) = 6

10·I₁ − 6·I₂ = 6

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

8·I₂ + 6(I₂ − I₁) = (−24)

−6·I₁ + 14·I₂ = −24

求解

Δ = (10)(14) − (−6)(−6) = 104

I₁ = Δ₁/Δ = −60/104 = −0.5769 A

I₂ = Δ₂/Δ = −204/104 = −1.962 A

答案

I_R2 = I₂ = −1.962 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R3 = −0.3069 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

25·I₁ + 30(I₁ − I₂) = 10

55·I₁ − 30·I₂ = 10

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

12·I₂ + 30(I₂ − I₁) + 3(I₂ − I₃) = 0

−30·I₁ + 45·I₂ − 3·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

15·I₃ + 3(I₃ − I₂) = (−6)

−3·I₂ + 18·I₃ = −6

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 27855

I₁ = Δ₁/Δ = 7470/27855 = 0.2682 A

I₂ = Δ₂/Δ = 4410/27855 = 0.1583 A

I₃ = Δ₃/Δ = −8550/27855 = −0.3069 A

答案

I_R3 = I₃ = −0.3069 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I = 1.4 mA

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

把响应写成各贡献之和

每个贡献与其自身的电源成正比，比例常数只与电阻有关。

I = k₁·V_s + k₂·I_s

15·k₁ + 6·k₂ = 20.1

12·k₁ + 4·k₂ = 16.4

求常数

Δ = (15)(4) − (6)(12) = −12

k₁ = Δ₁/Δ = −18/−12 = 1.5

k₂ = Δ₂/Δ = 4.8/−12 = −0.4

k₁ = 1.5 mA/V, k₂ = −0.4

预测新的电流

I = 1.5·2 + (−0.4)·4 = 1.4 mA

答案

I = 1.4 mA

8.叠加定理

答案: V_R3 = −14.06 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 8 ∥ 40 = 6.667 Ω

V_A = 36·6.667/(4+6.667) = 22.5 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 22.5·20/40 = 11.25 V

V_R3′ = 0 − V_A = 0 − 22.5 = −22.5 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 2.667 Ω，所以左侧路径为 R₂+2.667 = 22.67 Ω

R_eq = R₄ ∥ 22.67 = 10.63 Ω

V_B = I_s·R_eq = (−6)·10.63 = −63.75 V

V_A = V_B·2.667/22.67 = −7.5 V

V_R3″ = 0 − V_A = 0 − −7.5 = 7.5 V

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 4·8/(4+8) = 2.667 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = (−15)·22.67/42.67 = −7.969 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = −7.969·2.667/22.67 = −0.9375 V

V_R3‴ = 0 − V_A = 0 − −0.9375 = 0.9375 V

叠加各分量

V_R3 = V_R3′ + V_R3″ + V_R3‴

V_R3 = (−22.5) + 7.5 + 0.9375 = −14.06 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 22 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 3·6/(3+6) = 2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2 + 20 = 22 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = 31.75 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 15·5/(15+5) = 3.75 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.75 + 6 = 9.75 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 2.5 + 3·3.75 = 13.75 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 13.75 + 3·6 = 31.75 V

11.运放电路

答案: V_out = 4.947 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 3·47/(10 + 47) = 2.474 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 2.474·(1 + 47/47) = 4.947 V

答案

V_out = 4.947 V

12.运放电路

答案: I_f = 0.232 mA

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 1.1/4.7 = 0.234 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0.2/100 = −0.002 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.232 mA

答案

I_f = 0.232 mA

13.RC 和 RL 暂态

答案: W = 1.66 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 47 mH / 15 Ω = 3.133 ms

i(∞) = V_s/R = 5/15 = 0.3333 A

给定时刻的电流

i(t) = 0.3333·(1 − e^−5/3.133) = 0.2657 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·47·0.2657² = 1.66 mJ

答案

W = 1.66 mJ

14.RC 和 RL 暂态

答案: t = 117.7 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 10 kΩ · 33 µF = 330 ms

v_C(t) = 9 + (18 − 9)·e^−t/τ

求解时间

15.3 = 9 + (9)·e^−t/τ → e^−t/τ = (15.3 − 9)/(18 − 9) = 0.7

t = τ·ln((18 − 9)/(15.3 − 9)) = 330·ln(1.429) = 117.7 ms

答案

t = 117.7 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

构成超节点

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

把响应写成各贡献之和

求常数

预测新的电流

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

+ 输入端的电压

同相增益

答案

输入电流

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

储存的能量

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th