电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 6 VR₁ = 5 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 5 VR₁ = 2 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 12 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 18 VI_s = 1 AR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 5 Ω

I_R3 = A

4.节点分析困难

用节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 15 VI_s = 2.5 AV₂ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 15 Ω

V_B = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 24 VV₂ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 Ω

I₂ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 30 VV₂ = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 4 Ω

I_R2 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 30 VI_s = 4 AR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

8.叠加定理困难

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电压源 V₂ 的值（极性如图所示）。

V₁ = 6 VI_s = 1.5 AR₁ = 30 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 2 Ω

V₂ = V

9.戴维南和诺顿中等

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 12 Ω

I_N = A

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 12 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 30 VI_s = 1 AR₁ = 12 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 ΩR_L = 12 Ω

I_L = A

11.运放电路中等

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R₃ = R₁，R₄ = R₂。求输出电压 V_out。

V₁ = 2.4 VV₂ = 0.7 VR₁ = R₃ = 4.7 kΩR₂ = R₄ = 1 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求流过反馈电阻、流向输出端的电流 I_f。

V₁ = −0.2 VV₂ = −1.3 VR₁ = 47 kΩR₂ = 4.7 kΩR_f = 4.7 kΩ

I_f = mA

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 95%？求 t。

V_s = 5 VR = 68 ΩL = 10 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 15 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 9 V 时它必须触发，恰好在开始后 10 ms。已知 R = 100 kΩ，求所需的电容 C。

V_s = 15 VV_th = 9 VT = 10 msR = 100 kΩ

C = µF

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.8211 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 6 + 4 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 3·10/(3+10) = 2.308 Ω

R_eq = R₁ + 2.308 = 5 + 2.308 = 7.308 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/7.308 = 0.8211 A

答案

I_R1 = 0.8211 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 15.64 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 3 + 12 = 15 Ω

R₄ ∥ 15 = 10 Ω

R₃ + 10 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 13.64 Ω

R_eq = R₁ + 13.64 = 2 + 13.64 = 15.64 Ω

答案

R_eq = 15.64 Ω

3.节点分析

答案: I_R3 = −0.08235 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 18 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/5 + (V_A − 18)/20 + (V_A − V_B)/8 = 0

0.375·V_A − 0.125·V_B = 0.9

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/5 + (V_B − V_A)/8 = 1

−0.125·V_A + 0.325·V_B = 1

求解

Δ = (0.375)(0.325) − (−0.125)(−0.125) = 0.1063

V_A = Δ₁/Δ = 0.4175/0.1063 = 3.929 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.4875/0.1063 = 4.588 V

答案

I_R3 = (V_A − V_B)/R₃ = (3.929 − 4.588)/8 = −0.08235 A

4.节点分析

答案: V_B = 11.86 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 15 V, V₂ = 10 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/4 + (V_A − 15)/4 + (V_A − V_B)/2 = 0

V_A − 0.5·V_B = 3.75

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/15 + (V_B − V_A)/2 + (V_B − 10)/3 = 2.5

−0.5·V_A + 0.9·V_B = 5.833

求解

Δ = (1)(0.9) − (−0.5)(−0.5) = 0.65

V_A = Δ₁/Δ = 6.292/0.65 = 9.679 V

V_B = Δ₂/Δ = 7.708/0.65 = 11.86 V

答案

V_B = 11.86 V

5.网孔分析

答案: I₂ = 1.111 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

2·I₁ + 5(I₁ − I₂) = 24

7·I₁ − 5·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

5·I₂ + 5(I₂ − I₁) = (−10)

−5·I₁ + 10·I₂ = −10

求解

Δ = (7)(10) − (−5)(−5) = 45

I₁ = Δ₁/Δ = 190/45 = 4.222 A

I₂ = Δ₂/Δ = 50/45 = 1.111 A

答案

I₂ = 1.111 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R2 = −0.4286 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

15·I₁ + 2(I₁ − I₂) = 30

17·I₁ − 2·I₂ = 30

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

6·I₂ + 2(I₂ − I₁) + 4(I₂ − I₃) = 0

−2·I₁ + 12·I₂ − 4·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

8·I₃ + 4(I₃ − I₂) = (−24)

−4·I₂ + 12·I₃ = −24

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 2128

I₁ = Δ₁/Δ = 3648/2128 = 1.714 A

I₂ = Δ₂/Δ = −912/2128 = −0.4286 A

I₃ = Δ₃/Δ = −4560/2128 = −2.143 A

答案

I_R2 = I₂ = −0.4286 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R2 = 4.818 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 2+4 = 6 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 4·6/(4+6) = 2.4 Ω

V_A = 30·2.4/(2+2.4) = 16.36 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 16.36·4/6 = 10.91 V

I_R2′ = (V_A − 0)/R₂ = (16.36 − 0)/4 = 4.091 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 2·4/(2+4) = 1.333 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 4 ∥ 3.333 = 1.818 Ω

V_B = I_s·R_eq = 4·1.818 = 7.273 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 7.273·1.333/3.333 = 2.909 V

I_R2″ = (V_A − 0)/R₂ = (2.909 − 0)/4 = 0.7273 A

叠加各分量

I_R2 = I_R2′ + I_R2″

I_R2 = 4.091 + 0.7273 = 4.818 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: V₂ = 2.2 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 20 ∥ 4 = 3.333 Ω

V_A = 6·3.333/(30+3.333) = 0.6 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 0.6·2/4 = 0.3 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₃ = 12 Ω，所以左侧路径为 R₂+12 = 14 Ω

R_eq = R₄ ∥ 14 = 1.75 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −1.5·1.75 = −2.625 V

V_A = V_B·12/14 = −2.25 V

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 12 Ω

V_A‴ = V₂·12/(2 + 2 + 12) = 0.75·V₂

令 V_A 为零

V_A = 0 时 R₃ 两端没有电压，所以其电流为零。

V_A′ + V_A″ + V_A‴ = 0.6 + (−2.25) + 0.75·V₂ = 0

V₂ = 1.65/0.75 = 2.2 V

答案

V₂ = 2.2 V

9.戴维南和诺顿

答案: I_N = 0.7143 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·6/(10+6) = 3.75 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.75 + 12 = 15.75 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 30·6/(10+6) = 11.25 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 11.25/15.75 = 0.7143 A

10.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.1009 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 12·8/(12+8) = 4.8 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.8 + 5 = 9.8 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 12 + (−1)·4.8 = 7.2 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 7.2 + (−1)·5 = 2.2 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 2.2/(9.8 + 12) = 0.1009 A

11.运放电路

答案: V_out = −0.3617 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 0.7·1/(4.7 + 1) = 0.1228 V

V₋ = V₊

反相输入端的 KCL

(2.4 − 0.1228)/4.7 = (0.1228 − V_out)/1

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (1/4.7)·(0.7 − 2.4) = −0.3617 V

答案

V_out = −0.3617 V

12.运放电路

答案: I_f = −0.2809 mA

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = −0.2/47 = −0.004255 mA

I₂ = V₂/R₂ = −1.3/4.7 = −0.2766 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0.2809 mA

答案

I_f = −0.2809 mA

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 0.4405 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 10 mH / 68 Ω = 0.1471 ms

i(∞) = V_s/R = 5/68 = 0.07353 A

求解时间

0.95 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.95)

t = −0.1471·ln(0.05) = 0.4405 ms

答案

t = 0.4405 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: C = 0.1091 µF

所需的时间常数

9 = 15·(1 − e^−10/τ) → τ = 10/ln(15/(15 − 9))

τ = 10/0.9163 = 10.91 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 10.91/100 = 0.1091 µF

答案

C = 0.1091 µF

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用，按每伏计

令 VA 为零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

输入端的电压

反相输入端的 KCL

答案

输入电流

答案

时间常数和终值电流

求解时间

答案

所需的时间常数

电容

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

令 V_A 为零

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th