电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 9 VR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 5 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 12 VI_s = 2.5 AR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 6 Ω

I_R3 = A

4.节点分析困难

用节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 12 VI_s = 4 AV₂ = 6 VR₁ = 12 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 8 Ω

V_B = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 15 VV₂ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 20 Ω

I₁ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求 R₃ 两端按图示极性的电压 V_R3。

V₁ = 5 VV₂ = 18 VR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 25 Ω

V_R3 = V

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 15 VI_s = 5 AR₁ = 20 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 15 Ω

I_R2 = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₃ 两端按图示极性的电压 V_R3。

V₁ = 36 VI_s = 0.5 AV₂ = 5 VR₁ = 15 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 25 Ω

V_R3 = V

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 6 VR₁ = 8 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 12 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 15 VI_s = 5 AR₁ = 20 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 20 Ω

I_N = A

11.运放电路中等

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R₃ = R₁，R₄ = R₂。求输出电压 V_out。

V₁ = 1.3 VV₂ = 2.5 VR₁ = R₃ = 47 kΩR₂ = R₄ = 10 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R₁，R_f1），后接一个同相放大器（R₂ 接地，R_f2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。输入为 V_in = −0.3 V。求输出电压 V_out。

R₁ = 22 kΩR_f1 = 100 kΩR₂ = 10 kΩR_f2 = 4.7 kΩV_in = −0.3 V

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 90%？求 t。

V_s = 24 VR = 33 ΩL = 68 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 20 V，极性如图所示。求 t = 150 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 12 VR = 10 kΩC = 33 µFv_C(0) = 20 Vt = 150 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 5.2 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 10 + 6 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 4·16/(4+16) = 3.2 Ω

R_eq = R₁ + 3.2 = 2 + 3.2 = 5.2 Ω

答案

R_eq = 5.2 Ω

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.9157 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 25 + 5 = 30 Ω

R₄ ∥ 30 = 6.316 Ω

R₃ + 6.316 = 21.32 Ω

R₂ ∥ 21.32 = 1.828 Ω

R_eq = R₁ + 1.828 = 8 + 1.828 = 9.828 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/9.828 = 0.9157 A

答案

I_R1 = 0.9157 A

3.节点分析

答案: I_R3 = −1.05 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 12 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/5 + (V_A − 12)/20 + (V_A − V_B)/2 = 0

0.75·V_A − 0.5·V_B = 0.6

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/6 + (V_B − V_A)/2 = 2.5

−0.5·V_A + 0.6667·V_B = 2.5

求解

Δ = (0.75)(0.6667) − (−0.5)(−0.5) = 0.25

V_A = Δ₁/Δ = 1.65/0.25 = 6.6 V

V_B = Δ₂/Δ = 2.175/0.25 = 8.7 V

答案

I_R3 = (V_A − V_B)/R₃ = (6.6 − 8.7)/2 = −1.05 A

4.节点分析

答案: V_B = 12.61 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 12 V, V₂ = 6 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/15 + (V_A − 12)/12 + (V_A − V_B)/20 = 0

0.2·V_A − 0.05·V_B = 1

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/8 + (V_B − V_A)/20 + (V_B − 6)/3 = 4

−0.05·V_A + 0.5083·V_B = 6

求解

Δ = (0.2)(0.5083) − (−0.05)(−0.05) = 0.09917

V_A = Δ₁/Δ = 0.8083/0.09917 = 8.151 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.25/0.09917 = 12.61 V

答案

V_B = 12.61 V

5.网孔分析

答案: I₁ = 0.5435 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

6·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 15

26·I₁ − 20·I₂ = 15

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

6·I₂ + 20(I₂ − I₁) = (−12)

−20·I₁ + 26·I₂ = −12

求解

Δ = (26)(26) − (−20)(−20) = 276

I₁ = Δ₁/Δ = 150/276 = 0.5435 A

I₂ = Δ₂/Δ = −12/276 = −0.04348 A

答案

I₁ = 0.5435 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: V_R3 = −11.94 V

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

15·I₁ + 10(I₁ − I₂) = 5

25·I₁ − 10·I₂ = 5

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

20·I₂ + 10(I₂ − I₁) + 25(I₂ − I₃) = 0

−10·I₁ + 55·I₂ − 25·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

30·I₃ + 25(I₃ − I₂) = (−18)

−25·I₂ + 55·I₃ = −18

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 54500

I₁ = Δ₁/Δ = 7500/54500 = 0.1376 A

I₂ = Δ₂/Δ = −8500/54500 = −0.156 A

I₃ = Δ₃/Δ = −21700/54500 = −0.3982 A

答案

I_R3 = I₃ = −0.3982 A

V_R3 = I_R3·R₃ = −0.3982·30 = −11.94 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R2 = 2.757 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 10+15 = 25 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 4·25/(4+25) = 3.448 Ω

V_A = 15·3.448/(20+3.448) = 2.206 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 2.206·15/25 = 1.324 V

I_R2′ = (V_A − 0)/R₂ = (2.206 − 0)/4 = 0.5515 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 20·4/(20+4) = 3.333 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 15 ∥ 13.33 = 7.059 Ω

V_B = I_s·R_eq = 5·7.059 = 35.29 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 35.29·3.333/13.33 = 8.824 V

I_R2″ = (V_A − 0)/R₂ = (8.824 − 0)/4 = 2.206 A

叠加各分量

I_R2 = I_R2′ + I_R2″

I_R2 = 0.5515 + 2.206 = 2.757 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: V_R3 = 6.597 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 6 ∥ 28 = 4.941 Ω

V_A = 36·4.941/(15+4.941) = 8.92 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 8.92·25/28 = 7.965 V

V_R3′ = V_A − 0 = 8.92 − 0 = 8.92 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 4.286 Ω，所以左侧路径为 R₂+4.286 = 7.286 Ω

R_eq = R₄ ∥ 7.286 = 5.642 Ω

V_B = I_s·R_eq = (−0.5)·5.642 = −2.821 V

V_A = V_B·4.286/7.286 = −1.659 V

V_R3″ = V_A − 0 = −1.659 − 0 = −1.659 V

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 15·6/(15+6) = 4.286 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = (−5)·7.286/32.29 = −1.128 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = −1.128·4.286/7.286 = −0.6637 V

V_R3‴ = V_A − 0 = −0.6637 − 0 = −0.6637 V

叠加各分量

V_R3 = V_R3′ + V_R3″ + V_R3‴

V_R3 = 8.92 + (−1.659) + (−0.6637) = 6.597 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 17.22 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 8·15/(8+15) = 5.217 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5.217 + 12 = 17.22 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: I_N = 5.167 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 20·8/(20+8) = 5.714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5.714 + 20 = 25.71 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4.286 + 5·5.714 = 32.86 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 32.86 + 5·20 = 132.9 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 132.9/25.71 = 5.167 A

11.运放电路

答案: V_out = 0.2553 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 2.5·10/(47 + 10) = 0.4386 V

V₋ = V₊

反相输入端的 KCL

(1.3 − 0.4386)/47 = (0.4386 − V_out)/10

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (10/47)·(2.5 − 1.3) = 0.2553 V

答案

V_out = 0.2553 V

12.运放电路

答案: V_out = 2.005 V

各级的增益

A₁ = −R_f1/R₁ = −100/22 = −4.545

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 4.7/10 = 1.47

逐级计算

V₁ = −4.545·(−0.3) = 1.364 V

V_out = 1.47·1.364 = 2.005 V

答案

V_out = 2.005 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 4.745 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 33 Ω = 2.061 ms

i(∞) = V_s/R = 24/33 = 0.7273 A

求解时间

0.9 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.9)

t = −2.061·ln(0.1) = 4.745 ms

答案

t = 4.745 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 17.08 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 10 kΩ · 33 µF = 330 ms

v_C(t) = 12 + (20 − 12)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(150) = 12 + (8)·e^−150/330 = 17.08 V

答案

v_C = 17.08 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

输入端的电压

反相输入端的 KCL

答案

各级的增益

逐级计算

答案

时间常数和终值电流

求解时间

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电压

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th