电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 10 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 25 Ω

I_R2 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 24 VI_s = 2.5 AR₁ = 15 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 8 Ω

V_B = V

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 6 VI_s = 3 AV₂ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 8 Ω

I_R2 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 12 VV₂ = 6 VR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 Ω

I_R1 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求 R₃ 两端按图示极性的电压 V_R3。

V₁ = 36 VV₂ = 18 VR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 3 Ω

V_R3 = V

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 12 VI_s = 5 AR₁ = 2 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 8 Ω

I_R1 = A

8.叠加定理困难

一个线性电阻电路含有三个独立电源：V₁、V₂ 和 I_s。流过负载的电流 I 测量了三次。所有电源取正常值时，I = 9.5 mA。V₁ 加倍而另两个不变时，I = 20 mA。I_s 方向反转而另两个不变时，I = 16.5 mA。求将 V₂ 置零、V₁ 和 I_s 取正常值时的负载电流 I。

正常值: I = 9.5 mA2·V₁: I = 20 mA−I_s: I = 16.5 mA

I = mA

9.戴维南和诺顿中等

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 Ω

I_N = A

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 15 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 15 VI_s = 2.5 AR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 30 ΩR_L = 15 Ω

I_L = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 0.8 VR₁ = 100 kΩR_f = 100 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R₁，R_f1），后接一个同相放大器（R₂ 接地，R_f2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。输入为 V_in = −0.2 V。求输出电压 V_out。

R₁ = 2 kΩR_f1 = 4.7 kΩR₂ = 47 kΩR_f2 = 22 kΩV_in = −0.2 V

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求电路稳定后电感中储存的能量 W(∞)，以 mJ 表示。

V_s = 24 VR = 20 ΩL = 68 mH

W(∞) = mJ

14.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 250 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 12 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 6.8 kΩC = 100 µFt = 250 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.2182 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 10 + 10 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 15·20/(15+20) = 8.571 Ω

R_eq = R₁ + 8.571 = 15 + 8.571 = 23.57 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/23.57 = 0.3818 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0.3818·15 = 3.273 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3.273/15 = 0.2182 A

答案

I_R2 = 0.2182 A

2.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.4068 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 4 + 25 = 29 Ω

R₄ ∥ 29 = 2.719 Ω

R₃ + 2.719 = 32.72 Ω

R₂ ∥ 32.72 = 10.28 Ω

R_eq = R₁ + 10.28 = 15 + 10.28 = 25.28 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/25.28 = 0.5932 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0.5932·15 = 6.101 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6.101/15 = 0.4068 A

答案

I_R2 = 0.4068 A

3.节点分析

答案: V_B = 12.24 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 24 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/3 + (V_A − 24)/15 + (V_A − V_B)/6 = 0

0.5667·V_A − 0.1667·V_B = 1.6

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/8 + (V_B − V_A)/6 = 2.5

−0.1667·V_A + 0.2917·V_B = 2.5

求解

Δ = (0.5667)(0.2917) − (−0.1667)(−0.1667) = 0.1375

V_A = Δ₁/Δ = 0.8833/0.1375 = 6.424 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.683/0.1375 = 12.24 V

答案

V_B = 12.24 V

4.节点分析

答案: I_R2 = −0.2041 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 6 V, V₂ = −18 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/25 + (V_A − 6)/4 + (V_A − V_B)/12 = 0

0.3733·V_A − 0.08333·V_B = 1.5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/8 + (V_B − V_A)/12 + (V_B − (−18))/15 = 3

−0.08333·V_A + 0.275·V_B = 1.8

求解

Δ = (0.3733)(0.275) − (−0.08333)(−0.08333) = 0.09572

V_A = Δ₁/Δ = 0.5625/0.09572 = 5.876 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.797/0.09572 = 8.326 V

答案

I_R2 = (V_A − V_B)/R₂ = (5.876 − 8.326)/12 = −0.2041 A

5.网孔分析

答案: I_R1 = 1.385 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

4·I₁ + 5(I₁ − I₂) = 12

9·I₁ − 5·I₂ = 12

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

5·I₂ + 5(I₂ − I₁) = (−6)

−5·I₁ + 10·I₂ = −6

求解

Δ = (9)(10) − (−5)(−5) = 65

I₁ = Δ₁/Δ = 90/65 = 1.385 A

I₂ = Δ₂/Δ = 6/65 = 0.09231 A

答案

I_R1 = I₁ = 1.385 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: V_R3 = −11.64 V

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

15·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 36

35·I₁ − 20·I₂ = 36

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

2·I₂ + 20(I₂ − I₁) + 3(I₂ − I₃) = 0

−20·I₁ + 25·I₂ − 3·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

15·I₃ + 3(I₃ − I₂) = (−18)

−3·I₂ + 18·I₃ = −18

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 8235

I₁ = Δ₁/Δ = 14796/8235 = 1.797 A

I₂ = Δ₂/Δ = 11070/8235 = 1.344 A

I₃ = Δ₃/Δ = −6390/8235 = −0.776 A

答案

I_R3 = I₃ = −0.776 A

V_R3 = I_R3·R₃ = −0.776·15 = −11.64 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R1 = 3.471 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 6+8 = 14 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 20·14/(20+14) = 8.235 Ω

V_A = 12·8.235/(2+8.235) = 9.655 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 9.655·8/14 = 5.517 V

I_R1′ = (V₁ − V_A)/R₁ = (12 − 9.655)/2 = 1.172 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 2·20/(2+20) = 1.818 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 8 ∥ 7.818 = 3.954 Ω

V_B = I_s·R_eq = (−5)·3.954 = −19.77 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = −19.77·1.818/7.818 = −4.598 V

I_R1″ = (V₁ − V_A)/R₁ = (0 − −4.598)/2 = 2.299 A

叠加各分量

I_R1 = I_R1′ + I_R1″

I_R1 = 1.172 + 2.299 = 3.471 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: I = 7 mA

用各贡献写出测量值

每个贡献与其自身的电源成正比。

I₁ + I₂ + I₃ = 9.5

2·I₁ + I₂ + I₃ = 20

I₁ + I₂ − I₃ = 16.5

求各贡献

I₁ = 20 − 9.5 = 10.5 mA

I₃ = (9.5 − 16.5)/2 = −3.5 mA

I₂ = 9.5 − 10.5 − (−3.5) = 2.5 mA

将 V₂ 置零

I = I₁ + I₃ = 10.5 + (−3.5) = 7 mA

答案

I = 7 mA

9.戴维南和诺顿

答案: I_N = 0.4615 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 6·4/(6+4) = 2.4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.4 + 8 = 10.4 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 12·4/(6+4) = 4.8 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 4.8/10.4 = 0.4615 A

10.戴维南和诺顿

答案: I_L = 1.871 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 20·10/(20+10) = 6.667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6.667 + 30 = 36.67 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 5 + 2.5·6.667 = 21.67 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 21.67 + 2.5·30 = 96.67 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 96.67/(36.67 + 15) = 1.871 A

11.运放电路

答案: V_out = 1.6 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = 0.8 V

I = V₋/R₁ = 0.8/100 = 0.008 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = 0.8 + 0.008·100 = 1.6 V

答案

V_out = 1.6 V

12.运放电路

答案: V_out = 0.69 V

各级的增益

A₁ = −R_f1/R₁ = −4.7/2 = −2.35

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 22/47 = 1.468

逐级计算

V₁ = −2.35·(−0.2) = 0.47 V

V_out = 1.468·0.47 = 0.69 V

答案

V_out = 0.69 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: W(∞) = 48.96 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 20 Ω = 3.4 ms

i(∞) = V_s/R = 24/20 = 1.2 A

储存的能量

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·68·1.2² = 48.96 mJ

答案

W(∞) = 48.96 mJ

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 4.913 V

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 12·6.8/(4.7 + 6.8) = 7.096 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 6.8·100 = 680 ms

放电

v_C(t) = 7.096·e^−250/680 = 4.913 V

答案

v_C = 4.913 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

用各贡献写出测量值

求各贡献

将 V₂ 置零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

各级的增益

逐级计算

答案

时间常数和终值电流

储存的能量

答案

电容的初始电压

开关断开后的时间常数

放电

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th