电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 18 VR₁ = 10 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 9 VR₁ = 3 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 25 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求电流源 I_s 输出的功率 P_Is。

V₁ = 18 VI_s = 2 AR₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 4 Ω

P_Is = W

4.节点分析困难

调节电流源，使节点 A 的电压为 V_A = 16.5 V。用节点分析法求电源电流 I_s（方向如图所示）。

V₁ = 18 VR₁ = 2 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 10 ΩV_A = 16.5 V

I_s = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 9 VV₂ = 12 VR₁ = 8 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 12 Ω

I_R3 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 10 VV₂ = 36 VR₁ = 2 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 12 Ω

I_R1 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₄ 两端按图示极性的电压 V_R4。

V₁ = 24 VI_s = 1 AR₁ = 2 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 3 Ω

V_R4 = V

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₄ 的电流 I_R4。

V₁ = 30 VI_s = 2.5 AV₂ = 18 VR₁ = 25 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 10 Ω

I_R4 = A

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 5 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 10 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 P_L。

V₁ = 24 VI_s = 2.5 AR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 10 Ω

P_L = W

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源；其输出饱和电压为 ±14 V。同相放大器由正弦波驱动。求输出不削波时的最大输入幅值 V_in,max（峰值）。

R₁ = 4.7 kΩR_f = 10 kΩV_sat = ±14 V

V_in,max = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = −0.8 VV₂ = −0.5 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 10 kΩR_f = 1 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 90%？求 t。

V_s = 6 VR = 22 ΩL = 100 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 12 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 12.9 V？求 t。

V_s = 15 VR = 1 kΩC = 100 µFv_C(0) = 12 V

t = ms

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 12.31 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 5 + 5 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 3·10/(3+10) = 2.308 Ω

R_eq = R₁ + 2.308 = 10 + 2.308 = 12.31 Ω

答案

R_eq = 12.31 Ω

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.5754 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 20 + 25 = 45 Ω

R₄ ∥ 45 = 13.85 Ω

R₃ + 13.85 = 21.85 Ω

R₂ ∥ 21.85 = 12.64 Ω

R_eq = R₁ + 12.64 = 3 + 12.64 = 15.64 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/15.64 = 0.5754 A

答案

I_R1 = 0.5754 A

3.节点分析

答案: P_Is = 18.23 W

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/20 + (V_A − 18)/5 + (V_A − V_B)/15 = 0

0.3167·V_A − 0.06667·V_B = 3.6

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/4 + (V_B − V_A)/15 = 2

−0.06667·V_A + 0.3167·V_B = 2

求解

Δ = (0.3167)(0.3167) − (−0.06667)(−0.06667) = 0.09583

V_A = Δ₁/Δ = 1.273/0.09583 = 13.29 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.8733/0.09583 = 9.113 V

电流源输出的功率

电源把 Iₛ 从地（0 V）向上注入节点 B，即升到 V_B。电流从其 + 端流出的电源输出功率 P = V·I。

P_Is = V_B·I_s = 9.113·2 = 18.23 W

答案

P_Is = 18.23 W

4.节点分析

答案: I_s = 1.47 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

V_A 已知，所以这个方程给出 V_B。

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

(16.5 − 18)/2 + 16.5/25 = (V_B − 16.5)/10

−0.09 = (V_B − 16.5)/10 → V_B = 15.6 V

节点 B 的 KCL

经电阻从 B 流出的电流等于电源注入 B 的电流。

I_s = (V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = (15.6 − 16.5)/10 + 15.6/10 = 1.47 A

答案

I_s = 1.47 A

5.网孔分析

答案: I_R3 = 0.5565 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

8·I₁ + 12(I₁ − I₂) = 9

20·I₁ − 12·I₂ = 9

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

20·I₂ + 12(I₂ − I₁) = (−12)

−12·I₁ + 32·I₂ = −12

求解

Δ = (20)(32) − (−12)(−12) = 496

I₁ = Δ₁/Δ = 144/496 = 0.2903 A

I₂ = Δ₂/Δ = −132/496 = −0.2661 A

答案

I_R3 = I₁ − I₂ = 0.5565 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R1 = 1.74 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

2·I₁ + 3(I₁ − I₂) = 10

5·I₁ − 3·I₂ = 10

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

30·I₂ + 3(I₂ − I₁) + 12(I₂ − I₃) = 0

−3·I₁ + 45·I₂ − 12·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

8·I₃ + 12(I₃ − I₂) = (−36)

−12·I₂ + 20·I₃ = −36

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 3600

I₁ = Δ₁/Δ = 6264/3600 = 1.74 A

I₂ = Δ₂/Δ = −1560/3600 = −0.4333 A

I₃ = Δ₃/Δ = −7416/3600 = −2.06 A

答案

I_R1 = I₁ = 1.74 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: V_R4 = 5.275 V

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 20+3 = 23 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 20·23/(20+23) = 10.7 Ω

V_A = 24·10.7/(2+10.7) = 20.22 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 20.22·3/23 = 2.637 V

V_R4′ = V_B − 0 = 2.637 − 0 = 2.637 V

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 2·20/(2+20) = 1.818 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 3 ∥ 21.82 = 2.637 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1·2.637 = 2.637 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 2.637·1.818/21.82 = 0.2198 V

V_R4″ = V_B − 0 = 2.637 − 0 = 2.637 V

叠加各分量

V_R4 = V_R4′ + V_R4″

V_R4 = 2.637 + 2.637 = 5.275 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

8.叠加定理

答案: I_R4 = 2.326 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 4 ∥ 13 = 3.059 Ω

V_A = 30·3.059/(25+3.059) = 3.27 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 3.27·10/13 = 2.516 V

I_R4′ = (V_B − V₂)/R₄ = (2.516 − 0)/10 = 0.2516 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 3.448 Ω，所以左侧路径为 R₂+3.448 = 6.448 Ω

R_eq = R₄ ∥ 6.448 = 3.92 Ω

V_B = I_s·R_eq = 2.5·3.92 = 9.801 V

V_A = V_B·3.448/6.448 = 5.241 V

I_R4″ = (V_B − V₂)/R₄ = (9.801 − 0)/10 = 0.9801 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 25·4/(25+4) = 3.448 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = (−18)·6.448/16.45 = −7.057 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = −7.057·3.448/6.448 = −3.774 V

I_R4‴ = (V_B − V₂)/R₄ = (−7.057 − −18)/10 = 1.094 A

叠加各分量

I_R4 = I_R4′ + I_R4″ + I_R4‴

I_R4 = 0.2516 + 0.9801 + 1.094 = 2.326 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 7.727 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 5·6/(5+6) = 2.727 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.727 + 5 = 7.727 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: P_L = 52.24 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 4·20/(4+20) = 3.333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.333 + 10 = 13.33 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 20 + 2.5·3.333 = 28.33 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 28.33 + 2.5·10 = 53.33 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 53.33/(13.33 + 10) = 2.286 A

P_L = I_L²·R_L = 2.286²·10 = 52.24 W

11.运放电路

答案: V_in,max = 4.476 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

增益

A_v = 1 + R_f/R₁ = 1 + 10/4.7 = 3.128

削波前的最大输入

V_in,max = V_sat/|A_v| = 14/3.128 = 4.476 V

答案

V_in,max = 4.476 V

12.运放电路

答案: V_out = 0.2202 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = −0.8/4.7 = −0.1702 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0.5/10 = −0.05 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0.2202 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −1·(−0.2202) = 0.2202 V

答案

V_out = 0.2202 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 10.47 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 22 Ω = 4.545 ms

i(∞) = V_s/R = 6/22 = 0.2727 A

求解时间

0.9 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.9)

t = −4.545·ln(0.1) = 10.47 ms

答案

t = 10.47 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: t = 35.67 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 12 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 1 kΩ · 100 µF = 100 ms

v_C(t) = 15 + (12 − 15)·e^−t/τ

求解时间

12.9 = 15 + (−3)·e^−t/τ → e^−t/τ = (12.9 − 15)/(12 − 15) = 0.7

t = τ·ln((12 − 15)/(12.9 − 15)) = 100·ln(1.429) = 35.67 ms

答案

t = 35.67 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

电流源输出的功率

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

增益

削波前的最大输入

答案

输入电流

输出电压

答案

时间常数和终值电流

求解时间

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th