电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 24 VR₁ = 6 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

3.节点分析中等

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 V_B − V_A = Vₛ。用含超节点的节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

I_s = 1 AV_s = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 Ω

V_A = V

4.节点分析困难

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 V_B − V_A = Vₛ。用含超节点的节点分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 5 VI_s = 2 AV_s = 9 VR₁ = 3 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 20 Ω

I_R1 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 9 VV₂ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 Ω

I₁ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 15 VV₂ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 15 Ω

I₁ = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 12 VI_s = 1 AR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 2 Ω

I_R3 = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 10 VI_s = 5 AV₂ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 30 Ω

I_R3 = A

9.戴维南和诺顿中等

在 a–b 之间接入负载 R_L = 20 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 30 VR₁ = 12 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 3 ΩR_L = 20 Ω

I_L = A

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 20 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 P_L。

V₁ = 15 VI_s = 5 AR₁ = 6 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 20 ΩR_L = 20 Ω

P_L = W

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = −1.9 VR₁ = 22 kΩR_f = 100 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R₁，R_f1），后接一个同相放大器（R₂ 接地，R_f2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。输入为 V_in = 0.05 V。求输出电压 V_out。

R₁ = 2 kΩR_f1 = 47 kΩR₂ = 4.7 kΩR_f2 = 4.7 kΩV_in = 0.05 V

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时电感两端的电压 v_L。

V_s = 6 VR = 100 ΩL = 22 mHt = 1 ms

v_L = V

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 5 V，极性如图所示。求 t = 750 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 15 VR = 10 kΩC = 33 µFv_C(0) = 5 Vt = 750 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 14.4 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 2 + 2 = 4 Ω

R₂ ∥ 4 = 6·4/(6+4) = 2.4 Ω

R_eq = R₁ + 2.4 = 12 + 2.4 = 14.4 Ω

答案

R_eq = 14.4 Ω

2.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.3873 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 8 + 3 = 11 Ω

R₄ ∥ 11 = 2.933 Ω

R₃ + 2.933 = 6.933 Ω

R₂ ∥ 6.933 = 5.632 Ω

R_eq = R₁ + 5.632 = 6 + 5.632 = 11.63 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 24/11.63 = 2.063 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 2.063·6 = 11.62 V

I_R2 = V_A/R₂ = 11.62/30 = 0.3873 A

答案

I_R2 = 0.3873 A

3.节点分析

答案: V_A = 3.333 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A + V_s = V_A + 10

V_A/R₁ + V_B/R₂ = I_s

求解

V_A/10 + (V_A + 10)/20 = 1

V_A = (1 − 10/20)/(1/10 + 1/20) = 3.333 V

V_B = 3.333 + 10 = 13.33 V

答案

V_A = 3.333 V

4.节点分析

答案: I_R1 = 0.4528 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A + 9

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + V_B/R₃ = I_s

求解

(V_A − 5)/3 + V_A/2 + (V_A + 9)/20 = 2

V_A·(1/3 + 1/2 + 1/20) = 2 + 5/3 − 9/20 = 3.217

V_A = 3.217/0.8833 = 3.642 V

V_B = 12.64 V

流过 R₁ 的电流

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (5 − 3.642)/3 = 0.4528 A

答案

I_R1 = 0.4528 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

5.网孔分析

答案: I₁ = 0.08 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

15·I₁ + 5(I₁ − I₂) = 9

20·I₁ − 5·I₂ = 9

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

15·I₂ + 5(I₂ − I₁) = (−30)

−5·I₁ + 20·I₂ = −30

求解

Δ = (20)(20) − (−5)(−5) = 375

I₁ = Δ₁/Δ = 30/375 = 0.08 A

I₂ = Δ₂/Δ = −555/375 = −1.48 A

答案

I₁ = 0.08 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₁ = 0.1503 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

20·I₁ + 25(I₁ − I₂) = 15

45·I₁ − 25·I₂ = 15

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

2·I₂ + 25(I₂ − I₁) + 15(I₂ − I₃) = 0

−25·I₁ + 42·I₂ − 15·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

2·I₃ + 15(I₃ − I₂) = (−15)

−15·I₂ + 17·I₃ = −15

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 11380

I₁ = Δ₁/Δ = 1710/11380 = 0.1503 A

I₂ = Δ₂/Δ = −3750/11380 = −0.3295 A

I₃ = Δ₃/Δ = −13350/11380 = −1.173 A

答案

I₁ = 0.1503 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R3 = 0.7778 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 4+2 = 6 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 12·6/(12+6) = 4 Ω

V_A = 12·4/(4+4) = 6 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 6·2/6 = 2 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (6 − 2)/4 = 1 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 4·12/(4+12) = 3 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 2 ∥ 7 = 1.556 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1·1.556 = 1.556 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 1.556·3/7 = 0.6667 V

I_R3″ = (V_A − V_B)/R₃ = (0.6667 − 1.556)/4 = −0.2222 A

叠加各分量

I_R3 = I_R3′ + I_R3″

I_R3 = 1 + (−0.2222) = 0.7778 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: I_R3 = −2.421 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 5 ∥ 45 = 4.5 Ω

V_A = 10·4.5/(5+4.5) = 4.737 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 4.737·30/45 = 3.158 V

I_R3′ = (0 − V_A)/R₃ = (0 − 4.737)/5 = −0.9474 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 2.5 Ω，所以左侧路径为 R₂+2.5 = 17.5 Ω

R_eq = R₄ ∥ 17.5 = 11.05 Ω

V_B = I_s·R_eq = 5·11.05 = 55.26 V

V_A = V_B·2.5/17.5 = 7.895 V

I_R3″ = (0 − V_A)/R₃ = (0 − 7.895)/5 = −1.579 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 5·5/(5+5) = 2.5 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = (−10)·17.5/47.5 = −3.684 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = −3.684·2.5/17.5 = −0.5263 V

I_R3‴ = (0 − V_A)/R₃ = (0 − −0.5263)/5 = 0.1053 A

叠加各分量

I_R3 = I_R3′ + I_R3″ + I_R3‴

I_R3 = (−0.9474) + (−1.579) + 0.1053 = −2.421 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.6148 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 12·20/(12+20) = 7.5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 7.5 + 3 = 10.5 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 30·20/(12+20) = 18.75 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 18.75/(10.5 + 20) = 0.6148 A

10.戴维南和诺顿

答案: P_L = 186.7 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 6·30/(6+30) = 5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5 + 20 = 25 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 12.5 + 5·5 = 37.5 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 37.5 + 5·20 = 137.5 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 137.5/(25 + 20) = 3.056 A

P_L = I_L²·R_L = 3.056²·20 = 186.7 W

11.运放电路

答案: V_out = −10.54 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = −1.9 V

I = V₋/R₁ = −1.9/22 = −0.08636 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = −1.9 + (−0.08636)·100 = −10.54 V

答案

V_out = −10.54 V

12.运放电路

答案: V_out = −2.35 V

各级的增益

A₁ = −R_f1/R₁ = −47/2 = −23.5

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 4.7/4.7 = 2

逐级计算

V₁ = −23.5·0.05 = −1.175 V

V_out = 2·(−1.175) = −2.35 V

答案

V_out = −2.35 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_L = 0.06369 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 100 Ω = 0.22 ms

i(∞) = V_s/R = 6/100 = 0.06 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 6·e^−1/0.22 = 0.06369 V

答案

v_L = 0.06369 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 13.97 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 10 kΩ · 33 µF = 330 ms

v_C(t) = 15 + (5 − 15)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(750) = 15 + (−10)·e^−750/330 = 13.97 V

答案

v_C = 13.97 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

构成超节点

求解

答案

构成超节点

求解

流过 R₁ 的电流

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

各级的增益

逐级计算

答案

时间常数和终值电流

电感电压

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电压

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th